اثر بارگیری ذره ای: بارگیری ذره ای میزان بر همکنش های فاز را نشان می دهد. بارگیری ذره ای به صورت نسبت دانسیته جرمی فاز پراکنده^[۹۷](d) به فاز حامل^[۹۸]© تعریف می شود.
(۲-۵۵)
که β نسبت دانسیته جرمی می باشد.
فاز پراکنده همان فاز ذره دار و فاز حامل همان فاز سیال است.
که نسبت دانسیته دو فاز عبارتست از:
(۲-۵۶)
α کسر حجمی فاز مربوطه است.
که این نسبت برای جریان های گاز-جامد بزرگتر از ۱۰۰۰، برای جریانات مایع-جامد در حدود ۱ و برای جریان های گاز-مایع کمتر از ۰۰۱/۰ است. با کمک این پارامترها می توان فاصله متوسط میان ذرات فاز ذره ای را تخمین زد که این تخمین به صورت زیر است: (Crowe et al, 1998)

(۲-۵۷)
که در این رابطهk=β/γ است. برای جریان گاز-ذره با بارگیری ذره ای ۱، نسبت فاصله بین ذرات به قطر ذرات () در حدود ۸ است. بنابراین ذرات را می توان به صورت جدا در نظر گرفت. به طور کلی برای β خیلی پایین، تاثیر فازها بر یکدیگر یکطرفه است. مثلاً سیال حامل، ذره را از طریق نیروی دراگ و جریان اغتشاش تحت تاثیر قرار می دهد، اما ذرات تاثیری بر سیال حامل ندارند. که مدل های فاز گسسته و اویلری یا مدل مخلوط می توانند این نوع مسائل را به خوبی شبیه سازی کنند. برای β متوسط، این تاثیر دوطرفه است. سیال حامل، فاز ذره ای را از طریق نیروی دراگ تحت تاثیر قرار می دهد. اما ذرات، سیال حامل را از طریق کاهش مومنتوم متوسط تحت تاثیر قرار می دهند. برای β بالا، تاثیر دو طرفه بین فازهای ذره و سیال به علاوه فشار ذرات با همدیگر و تنش های ویسکوزیته ناشی از ذرات (تاثیرچهار طرفه) وجود دارد که برای این حالت فقط مدل اویلری می تواند شبیه سازی را به خوبی انجام دهد.
۲-۷-۲-۳-۴- معادلات بقا در مدل اویلری
معادله بقای جرم
معادله پیوستگی برای فاز q برابر است با: ((John and Anderson, 1995
(۲-۵۸)
که در آن سرعت فاز q و توصیف کننده انتقال جرم از فاز p ام به فاز q ام و توصیف کننده انتقال جرم از فاز q به فاز p ، _qα کسر حجمی فاز q، S_q نشان دهنده جرم ذخیره شده است.
معادله بقای مومنتوم
موازنه مومنتوم برای فاز q منجر به معادله زیر می شود: ((John and Anderson, 1995
(۲-۵۹)
که در آن نیروی حجمی خارجی، نیروی برآ، نیروی جرم مجازی، نیروی برهمکنش بین فازها و p فشار مشترک بین تمامی فازها، v_q سرعت فاز q، _qα کسر حجمی فاز q، v_qp سرعت نسبی فازها تانسور تنش-کرنش فاز q ام است.
(۲-۶۰)
در اینجا تانسور تنش-کرنش فاز q ام، و به ترتیب ویسکوزیته برشی و توده فازq ، I تانسور واحد، v_q سرعت فاز q و _qα کسر حجمی فاز q است.
نیروی برآ^[۹۹]: این نیرو در جریان چند فازی، بر روی ذره عمل می کند که عمدتاً ناشی از گرادیان سرعت در میدان جریان فاز اولیه است. نیروی برآ برای ذرات بزرگتر مهم تر است. ولی در مدل اویلری قطر ذرات خیلی کمتر از فاصله میان ذرات فرض می شوند. نیروی برآ عمل کننده روی فاز ثانویه p در فاز اولیه q از رابطه زیر محاسبه می شود:
(۲-۶۱)
در بیشتر حالات، نیروی برآ در مقایسه با نیروی دراگ ناچیز است. بنابراین دلیلی برای لحاظ کردن عبارت اضافه وجود ندارد. اگر نیروی برآ قابل توجه باشد (مثلاً اگر فازها به سرعت از هم جدا شوند)، می باید این عبارت لحاظ شود.
نیروی جرم مجازی^[۱۰۰]
برای جریان های چند فازی، اثر نیروی جرم مجازی وقتی به وجود می آید که فاز ثانویه p نسبت به فاز اولیه q شتاب داشته باشد. اینرسی جرم فاز اولیه در اثر ذرات شتاب دار به صورت نیروی جرم مجازی روی ذره اعمال می شود.
(۲-۶۲)
که F_vmنیروی جرم مجازی، عبارت بیان گر مشتق زمانی فاز و به شکل زیر است:
(۲-۶۳)
اثر جرم مجازی وقتی مهم است که دانسیته فاز ثانویه خیلی کوچکتر از دانسیته فاز اولیه باشد.
بقای انرژی
جهت تشریح بقای انرژی در کاربردهای چند فازی اویلری، یک معادله آنتالپی جداگانه می باید برای هر فاز نوشته شود:
(۲-۶۴)
که h_q آنتالپی مخصوص فاز q، شار حرارتی^[۱۰۱]، S_q چشمه حرارتی شامل چشمه های آنتالپی، Q_pq شدت تبادل حرارت میان فازهای p و q و h_pq آنتالپی بین فازی است.
معادله مومنتوم که درباره آن بحث شد، باید در چند حالت مختلف نیز حل شود.
معادله مومنتوم سیال-سیال
بقای مومنتوم برای فاز سیال q عبارت است از:
(۲-۶۵)
معادلات مومنتوم سیال-جامد
در کارهای تحقیقاتی انجام گرفته، از یک مدل دانه ای چند سیالی برای تشریح رفتار جریان مخلوط سیال-جامد استفاده می شود. تنش های فاز جامد با ایجاد تشابه میان حرکت تصادفی ذرات ناشی از برخوردهای ذره-ذره و حرکت حرارتی ملکول ها در یک گاز و در نظر گرفتن غیر الاستیک فاز دانه ای به دست می آیند. همانند یک گاز، شدت نوسانات سرعت ذره ای تعیین کننده تنش، ویسکوزیته و فشار جامد است. انرژی جنبشی همراه با نوسانات سرعت ذره با یک ترم شبه حرارتی یا دمای دانه ای، نشان داده می شود که متناسب با مربع متوسط حرکت تصادفی ذرات است.
بقای مومنتوم فاز جامد به صورت زیر نوشته می شود:
)(۲-۶۶)
که در آن p_s فشار جامد فاز S و k_ls= k_sl ضریب تبادل مومنتوم میان فاز جامد l و فاز جامدs، n تعداد کل فازها می باشند.
ضریب تبادل سیال-جامد:
این ضریب را می توان به شکل عمومی زیر نوشت: (Fluent user guide, 2006)
(۲-۶۷)
که ضریب fدر مدل های مختلف به صورت های متفاوتی تعریف می شود که در ادامه آورده خواهد شد.
τ_s زمان آسایش ذره است که به صورت زیر تعریف می شود:
(۲-۶۸)
که d_s قطر ذرات فاز جامد، _lμ ویسکوزیته فاز سیال l ام و ρ_s دانسیته فاز جامد است.