و در (۴-۲۱) تعریف شده اند.
و
(۵-۱۹)
بهره کنترل کننده استاتیکی از رابطه زیر بدست می آید:
(۵-۲۰)
-
- اثبات
اثبات این بخش دقیقا” مشابه اثبات تئوری ۴-۱ در فصل۴ میباشد.
مشابه مورد بدون تأخیر زمانی، یافتن قانون کنترلی استاتیکی خروجی بهینه برای نیل به تعقیب فازی بسیار مورد علاقه میباشد. کنترل کننده بهینه، کنترل کننده ای است که حداقل مقدار برای کران بالای در (۵-۴) را موجب میشود. خوشبختانه این مسأله حداقل سازی را میتوان بصورت یک فرایند حداقل سازی محدب بیان نمود. در این مورد کنترل کننده بهینه را میتوان بوسیله پیاده سازی مسأله مقدار ویژه LMI[48] یافت. بنابراین اقدام به حل مسأله کمینه سازی زیر می نماییم:
(۵-۲۱)
با توجه به و (۵-۱۲)- (۵-۹).
مسأله کمینه سازی فوق یک مسأله بهینه سازی محدب است. پاسخ این مسأله قانون کنترلی استاتیکی خروجی بهینه برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم فازی تأخیر زمانی T-S (5-2)، مدل مرجع (۵-۳) و عملکرد تعقیبی (۵-۴) میباشد.
اکنون به یک مثال جهت نشان دادن کارآمدی نتایج بدست آمده میپردازیم:
-
- مثال ۵-۱
سیستم غیرخطی دارای تأخیر زمانی زیر را در نظر بگیرید:
دوباره فرض بر آنست که . سیستم غیرخطی فوق را میتوان توسط مدل فازی T-S زیر نشان داد:
-
- قانون شماره ۱: اگر در حدود باشد، آنگاه:
که در آن:
-
- قانون شماره ۲: اگر در حدود یا باشد، آنگاه:
که در آن:
تأخیر زمانی متغیر با زمان در سیستم غیرخطی فوق برابر است با:
دلالت بر این دارد که: و . همچنین برای مدل مرجع (۵-۳) مقادیر زیر را در نظر میگیریم:
برای ماتریس وزن دهی در (۵-۴) داریم: . با در نظر گرفتن شرایط اولیه صفر برای سیستم غیرخطی فوق، چنانچه کنترل کننده بهینه را بوسیله اعمال مسأله مقدار ویژه LMI-LME (5-14) محاسبه کنیم، نتایج زیر حاصل خواهند شد:
و برای ماتریس معین مثبت مشترک بدست می آوریم:
مقادیر فوق بهره های زیر را برای کنترل کننده استاتیکی خروجی نتیجه میدهند:
همچنین مقدار بهینه برای برابر است با:
به منظور نشان دادن عملکرد سیستم حلقه بسته یک شبیه سازی در محیط Simulink انجام پذیرفته است. در این شبیه سازی اغتشاشات ورودی و نویز اندازه گیری بصورت زیر در نظر گرفته شده اند:
تصاویر زیر نتایج شبیه سازی را به نمایش میگذارند:
شکل(۵-۱): دنبال نمودن خروجی مرجع توسط کنترل کننده طراحی شده برای مثال ۵-۱
شکل (۵-۲): تغییرات سیگنال کنترلی ورودی مثال ۵-۱ در گذر زمان
شکل(۵-۳): تغییرات ضریب تضعیف تعیین شده برای مثال ۵-۱ در گذر زمان
