در سال ۱۹۹۳ موسسات دولتی برنامه های حمایتی از MEMS را آغاز کردند، و در سال ۱۹۹۸ مرکز نساجی ملی^[۴۷](National Textile Center) در یک پروژه MEMS با محوریت صنعت نساجی و بافندگی سرمایه گذاری کرد.
در حال حاضر روش های بسیاری در صنعت MEMS موجود و افق آن برای کاربردهای بیشتر باز است. شکل ۲-۱ خلاصه ای از افراد، موسسات دانشگاهی و یا صنعتی دخیل در پیشرفت میکروماشینها در طول پنجاه سال را نشان می دهد.

شکل ۲-۱- تاریخچه MEMS در ایالات متحده از ۱۹۵۰ تا ۲۰۰۰
در نتیجه رشد سریع و روزافزون تکنولوژی MEMS، مطالعه در رابطه با طراحی، ساخت، و تجارت ابزار و سیستمهای میکروئی نیز افزایش یافته است. این وسایل ریز در حین استفاده، اغلب در معرض حالتهای پیچیده تنش و کرنش قرار می گیرند و خواص مکانیکی آنها در کارآیی کلی آنها تاثیر بسزائی دارد. بنابراین پیشگوئی واکنش این اجسام کوچک نسبت به بارگذاریهای مکانیکی در طراحی و ساخت اسباب قابل اعتماد مطلوب است
۲-۲ تحقیقات قبلی در رابطه با پدیده ناپایداری در ساختارهای MEMS
اولین تحقیقات در زمینه تحریک الکترواستاتیکی از دهه ۱۹۶۰ آغاز شد. در یک سری از آزمایشات جالب که توسط تیلور^[۴۸] (دانشمند انگلیسی) انجام شد، ادغام قطرات مایع توسط اختلاف پتانسیل های الکتریکی مختلف بررسی شد. در سیستم او نقش دیافراگم الاستیکی توسط یک فیلم نازک انجام می شد. تیلور به این نتیجه رسید که وقتی اختلاف پتانسیل اعمالی از یک ولتاژ بحرانی فراتر رود، دو قطره در هم ادغام می شوند یا دیافراگم به سمت صفحه پائین کشیده می شود. بنابراین در ولتاژهای اعمالی که زیر ولتاژ بحرانی هستند، دو قطره مایع تحت یک فاصله معین از هم باقی می مانند.
آزمایشات تیلور توسط آکربرگ^[۴۹] بصورت ریاضی مدل شدند. آکربرگ از آزمایشات تیلور در نسبت کوچکی استفاده کرد تا یک پتانسیل الکترواستاتیکی تخمینی محاسبه کند. آکربرگ بدین صورت فرض کرد که فاصله مابین دیافراگم و الکترود نسبت به شعاع دیافراگم، کوچک است. با نادیده گرفتن اثر میدان الکتریکی حاشیه ای^[۵۰] و با فرض تقارن استوانه ای مدل و سایر ساده سازی های دیگر آکربرگ توانست مسئله را در حد مطالعه معادله دیفرانسیلی معمولی غیرخطی ساده برای تغییر شکل دیافراگم ساده کند.
بطور همزمان با تیلور، ناتانسون^[۵۱] یکی از محققان MEMS به بررسی تحریک الکترواستاتیکی بعنوان یک روش برای طراحی یک ترانزیستور رزونانس پرداخت. برای درک بهتر مسئله ناتانسون و همکارانش مدل جرم- فنر تحریک الکترواستاتیکی را بازسازی کردند. همان ناپایداری حاصل شده در تحقیقات تیلور پدیدار شد. نام Pull-in اولین بار توسط ناتانسون به این پدیده داده شد. با رشد و کامل شدن MEMS و همچنین با تکامل سیستم های نانوالکترومکانیکی، اهمیت شناخت تحریک الکترواستاتیکی و پدیده ناپایداری نیز توسعه یافت. طراحی تعداد بسیار زیادی از دستگاه های MEMS/NEMS بوسیله این ناپایداری محدود شده است.
در رابطه با MEMS/NEMS محققان بسیاری از جمله چو^[۵۲] و همکارانش کارهای ناتانسون را پیگیری کردند و از مدلهای جرم- فنر مختلف برای تحلیل اشکال متنوع MEM/NEM با تحریک الکترواستاتیکی استفاده کردند. سایر محققان مانند گیلبرت^[۵۳] و همکارانش در ۱۹۹۶ ، شی^[۵۴] و همکارانش در ۱۹۹۴، فانک^[۵۵] و همکارانش در ۱۹۹۷ ، آلورو و وایت^[۵۶] در ۱۹۹۷ و اوستربرگ و سنچوریا^[۵۷] در ۱۹۹۷ نیز پدیده ناپایداری را توسط شبیه­سازی مستقیم عددی بررسی کردند تا اینکه اخیراً تحلیل کامل دستگاه های دو بعدی توسط برنستین^[۵۸] و همکارانش بکار گرفته شد یکی از حالات عمومی این مدل ها تحلیل هندسی دستگاه و استفاده از آنها برای حل معادلات مدل مورد نظر است. در واقع مدل جرم- فنر بر این فرض استوار است که صفحات موازی در تمامی تغییر شکل ها و خیزها باز هم بطور موازی با هم می مانند. در نتیجه این مدل برای زمانی جواب می دهد که ولتاژ در یک گستره خاصی باشد،  .
بنابراین دو نقطه و وضعیت قابل اطمینان برای این دستگاه ها وجود دارد. اگر ولتاژ بالاتر از  باشد، هیچ راه حلی وجود ندارد. بنابراین،  بعنوان ولتاژ ناپایداری تعریف می شود. در تمامی این مطالعات روش های مختلفی برای بررسی پدیده ناپایداری ارائه شده است.
۲-۳ تحقیقات قبلی در رابطه با آنالیز فرکانسهای طبیعی ساختارهای MEMS
بعضی از ابزارهای MEMS در نزدیکی فرکانسهای طبیعیشان بکار برده می شوند که این کار باعث ایجاد ماکزیمم دامنه جابجایی و بیشترین بازدهی آنها می شود. به همین خاطر پیش بینی فرکانسهای طبیعی این ساختارها یک فاکتور کلیدی در فاز طراحی به شمار می رود. در این گونه ساختارها فرکانسهای طبیعی با افزایش ولتاژ اعمالی تغییر می کنند. این ویژگی باعث می شود تا بتوانیم فرکانس کاری ساختار مورد نظر را با توجه به ولتاژ اعمالی به آن تنظیم کنیم. بنابراین پیش بینی این فرکانس وابسته به ولتاژ بسیار ارزشمند است.
میکروصفحات کاملا کلمپ شده فرکانسهای طبیعی بالایی دارند. این گونه صفحات به صورت گسترده ای در میکروپمپها، میکروفونها و میکروسنسورها کاربرد دارند. در تحقیقیت قبلی برای آنالیز فرکانس میکروصفحات از مدلهای ساده شده ای از قبیل روش تک بعدی جرم- فنر^[۵۹] استفاده شده است، در صورتی که این گونه ساختارها باید به صورت ساختارهای پیوسته مدل شوند. به علاوه در شرایط واقعی، میدان الکترواستاتیکی و تغییر شکل الاستیکی قطعه تشکیل یک سیستم کوپل شده را می دهند. به همین دلیل برای بررسی دقیق مشخصات این گونه ساختارها باید از مدلهای ریاضی کارآمد و روش های عددی برای حل معادلات حاصل شده بهره جست که دقت مورد نظر را فراهم نمایند.
فارس^[۶۰] و همکارانش فرکانسهای طبیعی یک میکروتیر را با بهره گرفتن از روششوتینگ^[۶۱] به دست آورده اند. چون این روش مبتنی بر تکرار است از نظر محاسباتی بسیار پرهزینه به شمار می رود. همچنین استفاده از این روش در نزدیکیهای ولتاژ ناپایداری به واگرایی در نتایج منجر شود. در عوض استفاده از مدلهای کاهش مرتبه یافته^[۶۲] می تواند راه حل مناسبی برای غلبه بر مشکلات یاد شده باشد
۲-۵ تحقیقات قبلی در رابطه با بررسی اثر ولتاژ آنی^[۶۳] در ساختارهای MEMS
در بسیاری از مطالعات قبلی پدیده ناپایداری به صورت استاتیکی مورد مطالعه قرار گرفته است، بدین معنا که ولتاژ اعمالی به آهستگی افزایش یافته و در نهایت به مقدار خود در نقطه ناپایداری می رسد. اما در بسیاری از ساختارهای MEMS مانند میکروسوئیچ ها ولتاژ به صورت آنی اعمال می شود که این امر منجر به کاهش ولتاژ ناپایداری می شود که این حالت اصطلاحا ولتاژ ناپایداری دینامیکی^[۶۴] خوانده می شود. پژوهشگران معدودی به بررسی این پدیدهاز منظر تئوری پرداخته اند که از میان آنان می توان به آنانتاسورش^[۶۵] و کریلوف^[۶۶] اشاره کرد. آنها یک میکروتیر را تحت ولتاژ آنی مورد مطالعه قرار داده اند و دریافته اند که در این حالت ولتاژ ناپایداری در حدود %۹۱ ولتاژ پیش بینی شده در حالت استاتیکی است.
۲-۶ کارهای انجام شده مرتبط با پروژه
از آنجاییکه میکروتیرها با شرایط مرزی متفاوت مولفه های تشکیل دهنده بسیاری از میکروساختارها، سنسور ها و عملگرها هستند بعنوان مثال میکرو رزوناتورها ،میکروسوئیچها و میکرو ژیروسکوپها و میکروشتاب سنجها،میکرو پمپها ابزارهایی از این قبیل هستند که میکروتیر تحت تحریک نیروی الکترواستاتیک و پیزوالکتریک قرار می گیرد.در بسیاری از میکروساختارها نظیر شتابسنجها ،میکرو رله ها و میکرو سوئیچها ،میکروتیرهای یکسرگیردار و دوسر گیردار بخش اصلی مکانیکی این ابزارها تلقی می شوند که تحت تاثیر نیروی الکترو استاتیک منحرف می شوند[۱].زمانیکه ولتاژ تحریک از مقدار بحرانی تجاوز کند آنگاه میکرو ساختار با الکترود ثابت تماس پیدا خواهد کرد[۲-۴].
در بعضی موارد مانند میکرو دانسیته مترها ،میکرو بیوسنسورها [۵] میکرو ویسکوزیته مترها[۶] و میکرو رزوناتورها [۷, ۸] ،ممکن است که میکروتیر غوطه ور یا در تداخل با سیال باشد. در تحقیقات قبلی که در این زمینه انجام شده است آقای پاندی و همکارانش[۹] نشان داده اند، زمانیکه میکروتیر در تداخل با گاز بعنوان سیال واسطه قرار می گیرد استعلاک و سختی افزوده ناشی از گاز در معادلات تیر ظاهر می گردد و می تواند عملکرد سیستم را تغییر دهد.بهر حال در بعضی از ابزارها که میکرو تیر ممکن است در سیال غوطه ور باشد،در اینگونه موارد که استعلاک افزوده ناشی از لزجت سیال تاثیر خود را بر روی نیروی عکس العمل نشان می دهد، جرم افزوده بعنوان یک پارامتر مهم در تحلیل دینامیکی در Mems مطرح است[۱۰].تحقیقات متعددی هم اخیرا در رابطه با تاثیر جرم افزوده ناشی از تداخل سیال در ابعاد ماکرو و میکرو انجام شده است.آقای اسماعیل زاده و همکارانش [۱۱] ارتعاشات آزاد ساختارهایی پوشش دار را که در سیال غوطه ورند را بررسی کرده اند.آنها از خاصیت تابع پتانسیل سیال برای محاسبه فشار هیدرولیکی سیال بر روی ساختارها استفاده کردند.آقای لیانگ و همکارانشان[۱۲] ارتعاشات آزاد صفحه یکسر گیردار غوطه ور در سیال را با بهره گرفتن از جرم افزوده تجربی مورد بررسی قرار دادند.آنها همچنین مشخصه های ارتعاشی را به ازای نسبتهای طول به عرض مختلف برای صفحه غوطه ور در آب بدست آورده اند.آقای لیندهولم و همکارانشان [۱۳] هم آزمایشات فراوانی برای ارزیابی فرکانسهای طبیعی صفحه مستطیلی شکلی که در تداخل با هوا و آب بود انجام داده و نتایج را مورد مقایسه قرار داده اند.
آقای ارگین و همکارانشان [۱۴] با بهره گرفتن از روش المان مرزی^[۶۷]و با بهره جستن از تصاویر برای تحلیل صفحه یکسر گیردار غوطه ور در سیال استفاده کردند.آنها نتایج بدست آمده را برای نسبتهای مختلف نشان دادند و نتیجه گرفتند که برای فرکانسهای بالاتر این نتایج دقیقتر است. آقای قورمان و همکارانش[۱۵] تیر یکسر گیرداری که از یک طرف در تماس با سیال تراکم ناپذیر و از طرف دیگر در تماس با هوا بود را مورد بررسی قرار داد و فرکانسهای تیر خیس را با فرکانسهای تیر خشک و مورد مقایسه قرار داند.آقای آتکینسون و همکارانشان [۱۶] پاسخ فرکانسی صفحه یکسر گیردار را با بهره گرفتن از روش تحلیلی برای فشار سیال، زمانیکه ویسکوزیته سیال در تماس صفحه است مورد بررسی قرار دادند.آقای لیانگ[۱۷] بصورت تئوری فرکانسهای طبیعی دو صفحه دایروی منطبق کوپل را با در نظر گرفتن سیال تراکم پذیر و غیر ویسکوز با بهره گرفتن از روش بسط سری فوریه و روش رایلی ریتز بدست آورده است.آقای لتر[۱۸] خاصیت تراکم پذیری سیال را در محاسبات برای صفحه دایروی شکل اعمال کرد و نتیجه گرفت که تراکم پذیری تاثیر بیشتری بر روی خارج از فاز بودن مدها دارد.آقای ژئونگ و همکارانش[۱۹] هم با بهره گرفتن از همان روش، فرکانسهای کوپل شده دو صفحه مستطیلی منطبق را بررسی کردند.آقای رضازاده و همکارانش[۲۰] هم تاثیر بارگذاری سیال بر روی تیر یکسر گیرداری که تحت تحریک الکترو استاتیک بود را بررسی کرده و فرکانسهای طبیعی و جرم افزوده ناشی از فشار سیال را بدست آوردند.همچنین تاثیر الکترواستاتیک در معادلات بعنوان ماتریس سختی ظاهر شد.آقای سادر[۲۱] ویژگیهای ارتعاشی تیر یکسر گیردار را با کاربرد در نیروی اتمی میکروسکوپ مورد بررسی قرار داده است.آقای هریسون و همکارانش[۲۲] در یک مطالعه تجربی تاثیر نزدیکی دیواره جامد را بر روی رزونانس صفحه غوطه ور در سیال را نشان داده است.آنها همچنین تاثیر سیال را بعنوان جرم افزوده و استعلاک افزوده مدل کرده و پاسخ فرکانسی سیستم را مورد مطالعه قرار دادند.
در موارد استاتیکی که ولتاژ به آرامی افزایش می یابد،اینرسی و استعلاک بیان کننده اینند که نیرو تحریک تاثیری بر روی مقادیر ولتاژ ناپایداری ندارد هرچند که زمانیکه ولتاز بصورت پله اعمال می شود ،اینرسی و استعلاک در روابط ظاهر می شود و این بیان کننده اینست که ولتاژ pull-in دینامیکی با ولتاژ pull-in استاتیکی متمایز است.
روش های حل مختلفی برای تحلیل دینامیکی میکروتیر های تحت تحریک الکترو استاتیک مورد استفاده قرار گرفته اند که بعضی از این روشها عبارتند از روش گلرکین[۲۳-۲۵] ،روش المان محدود[۲۶] ، روش تحلیلی کیفی غیر خطی^[۶۸] [۲۷] و روش انرژی[۲۸].آقای لین و وانگ[۲۹] یک بازبینی وسیع از مدلسازی و شبیه سازی برای تشریح حل دینامیکی در mems را گزارش کردند.در مواردیکه کاربرد سوئیچها مورد توجه است ،نظیر اپتیکال یا فرکانسهای رادیویی (RF) ارتباط ولتاژ pull-in دینامیکی و زمان pull-in یا زمان تعویض مهم و مورد توجه است.از طرفی نشان داده شده که پارامترهای نیروی تحریک و ساختار سیستم در رفتار میکرو ساختارها در هنگام سرنگونی تیر به شرایط سیستم وابسته است.
از طرفی نیروی الکترو استاتیک و ویژگیهای ماده و هندسی ساختار و همچنین شرایط محیطی نظیر تغییرات دما [۳۰-۳۲] و تاثیر squeeze film سیال احاطه شده [۳۳-۳۵] می تواند پاسخ گذرا و شرایط ناپایداری سیستم را تغییر دهد.زمانیکه میکرو ساختارها در محیط گاز قرار دارند،استعلاک افزوده درمحدوده فرکانسهای پایین ظاهر می شود در صورتیکه در محدوده فرکانسهای بالا سفتی مهم و قابل توجه است [۳۶].
در کار حاضر ابتدا ارتعاشات آزاد میکرو تیر یکسرگیردار مورد بررسی قرار گرفته است .میکروتیر در محفظه بسته حاوی سیال غو طه ور است و سیال تراکم ناپذیر و غیر لزج و غیر چرخشی فرض شده است.در کار حاضر روش حل با فرض معادل قرار دادن شرایط سینماتیک تیر و سیال و همچنین با ارتباط شرایط مرزی دو قسمت مخزن بصورت مجازی بین تیر و سیال و همچنین ارتباط سیالهای نواحی ۱و ۲ محفظه در فاصله ،معادلات بصورت کوپل درآمده و با فرض منطبق بودن شکل مدها برای تیر و سیال و اعمال روش گلرکین معادلات مربوط به حل مقدار ویژه سیستم بدست آمده است.همچنین فرکانسهای طبیعی سیستم کوپل به ازای تغییرات هندسی و مادی تیر و سیال مورد توجه قرار گرفته است.
در ادامه با در نظر گرفتن نیروی تحریک الکترو استاتیک ،پاسخ سیستم را به ازای ولتاژ پله متفاوت نشان داده ایم .در ادامه نشان داده شده است که سیالات مختلف با ضریب دی الکتریک گوناگون باعث تغییر نوسانات نوک تیر می شود.بعلاوه جرم افزوده سیال باعث تغییر پریود های سیستم و زمان pull-in می شود. در نهایت با ترسیم نمودارهای فازی می توان نواحی جذب یا تفاوت نواحی پایداری را مشاهده کرد.
فصل سوم
توصیف مدل و استخراج معادلات حاکم برمسئله
۳-۱معرفی مدل مورد مطالعه
در این پروژه رفتار دینامیکی و آنالیز فرکانسی یک میکروتیر یکسر گیردار که درون یک محفظه بسته حاوی سیال قرار دارد مورد بررسی قرار گرفته است. جنس تیر سیلیکون^[۶۹] می باشد و از فرضیات تیر اویلر برنولی برای حل این مسئله استفاده شده است.و جریان سیال بصورت ایده ال با فرض تراکم ناپذیر^[۷۰] و غیر ویسکوز^[۷۱] و غیر چرخشی^[۷۲] مورد بررسی قرار می گیرد. همانگونه که در شکل (۳-۱) نشان داده شده است، دو الکترود جهت تحریک الکترواستاتیکی سیستم در نظر گرفته شده است. موقعیکه ولتاژ مابین این دو نقطه اعمال شود، میکرو تیر به سمت ناحیه الکترواستاتیکی کشیده می شود. این ولتاژ می تواند به آرامی و یا به صورت آنی اعمال گردد، در هر دو حالت موقعیکه ولتاژ به مقدار معینی می رسد میکرو تیر ناگهان به سمت ناحیه الکترواستاتیکی(ثابت) کشیده می شود و در این موقع ناپایداری^[۷۳] یا پدیده pull-in^[74] اتفاق می افتد.ابتدا معادلات حاکم تحت تحریک الکترواستاتیک بدست می آیند سپس با صرف نظر از نیروی تحریکالکترواستاتیک، پاسخ سیستم را در دو حالت ارتعاشات آزاد و اجباری مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت معادلات دینامیکی پاسخ گذرای سیستم در برابر اعمال ولتاژ آنی به دست می آیند.
طول میکروتیر بوده و طول محفظه با پارامتر نشان داده شده است. پارامترهای مربوط به سیال قسمت پایین تیر با زیرنویس ۱ و ناحیه بالای بالای تیر با زیرنویس ۲ متمایز شده اند.

۳-۲ مدلسازی ریاضی برای محرکهای میکروالکترومکانیکی الکترواستاتیکی
با فرض تیر اویلر برنولی و در نظر گرفتن اثرات سیال مجاور بفرم فشار روی تیر و همچنین نیروی الکترواستاتیکی ،معادله حاکم بر سیستم بفرم زیر خواهد بود.