Beranek et al., (1976) مروری بر مطالعات و تحقیقات انجام شده پیرامون انتشار ارتعاش در زمین داشته اند. (Yang et al., (1996 با توجه به مقاله برانک و همکاران تغییراتی در روند تعیین ضریب اعمال کرد. آنها این ضریب را برای حالتی که بار خطی بی­نهایت روی نیم فضای الاستیک وجود داشته باشد، ارائه کرد.

در ادامه اثبات روابط برای بار خطی بی­نهایت روی نیم فضای الاستیک ارائه می­ شود و در انتها مقادیر برای بار متمرکز روی نیم فضای الاستیک ارائه می­ شود.
بر اساس تحقیقات برانک و همکاران، نرخ استهلاک امواج درونی ناشی از بارگذاری روی نیم فضای الاستیک در حوزه دور به صورت است، که ، شعاع از مبدأ مورد نظر است. معمولاً در این تعاریف منظور از مبدأ همان نقطه بارگذاری است.

شکل ۳-۱۰ هندسه­ای برای تعیین ضریب استهلاک دامنه (Yang & Hong, 2009)
با توجه به شکل ۳-۱۰ اگر نقطه را به عنوان مرجع نیم فضا در نظر بگیریم، نقطه­ای روی مرز دو حوزه با شعاع و جابجایی ، و ، نقطه سوم در امتداد خط واصل ، ولی در حوزه دور با شعاع قرار گرفته است. جابجایی نقطه ، با توجه به نرخ استهلاک موج درونی به صورت زیر است.
(۳-۷۶)
با بیان در فرم لگاریتمی، به صورت زیر حاصل می­ شود.
(۳-۷۷)
اگر را فاصله نقطه از نقطه ، مطابق شکل ۳-۱۰ در نظر بگیریم. می­توانیم را با جاگذاری کرده و خواهیم داشت.
(۳-۷۸)
حال با بهره گرفتن از بسط لگاریتمی برای ، داریم
(۳-۷۹)
برای حالتی که نسبت باشد، یعنی نقطه به فاصله ، خیلی به مرز دو حوزه نزدیک شود، در این حالت می­توانیم از جملات با مرتبه مشتق بالاتر در رابطه قبل صرف نظر کنیم و خواهیم داشت.
(۳-۸۰)
با مقایسه رابطه اخیر و تابع انتشار موج، به این نتیجه می­رسیم که ضریب استهلاک دامنه موج برای بار خطی باید به صورت زیر باشد.
(۳-۸۱)
این ضریب با این فرض بدست آمد که در محیط، بیشتر موج درونی غالب است. اما با همان بارگذاری، برای نواحی نزدیک سطح که موج سطحی، مثل موج ریلی غالب است، ضریب پیشنهاد شده است.
بطور مشابه برای حالتی که بار متمرکز به محیط اعمال شود، ضریب به شرح زیر است.
برای نواحی­ای که موج درونی مثل موج فشاری و برشی غالب است، و برای نواحی­ای که موج سطحی، موج ریلی غالب است،.
تفاوتی که در این روش نسبت به دو روش قبل وجود دارد این است که اولاً ماهیت بارگذاری در مقدار ضریب موثر بوده و ثانیاً مقدار این ضریب برای نواحی مختلف که امواج مختلفی در آنها منتشر می­ شود، متفاوت است.
همانطور که پیشتر نیز اشاره شده بود مطابق شکل ۳-۱۰،
(Yang et al., 1996; Yang & Hong, 2009) معتقد­اند که برای سه ناحیه مختلف از ضریب مخصوص آن قسمت استفاده شود. یعنی برای قسمت زیر سطح از ضریب مخصوص موج سطحی و برای دو قسمت دیگر از ضریب مخصوص موج درونی استفاده شود. دوباره تأکید می­ شود که این نحوه چیدمان محیط مختص حالتی است که بارگذاری در جهت قائم باشد. در غیر این صورت برای بارگذاری افقی شرایط اینگونه نخواهد بود. قبل از اینکه به بخش بعدی بپردازیم به طور خلاصه­ای در مورد عمق موثر موج ریلی و همچنین روابط آن بحث می­کنیم.
۳-۷ عمق موثر موج ریلی
(Kramer, (1996، نموداری در رابطه با دامنه جابجایی عمودی و افقی ناشی از موج ریلی، برای مقادیر مختلف ضریب پوآسون ارائه کرده است. در این نمودار حرکت قائم و افقی ناشی از موج ریلی نشان داده شده است. نسبت دامنه­های منفی، نشان دهنده این است که جابجایی در جهت خلاف جابجایی سطحی است.
با بررسی معادله موج ریلی به این نتیجه می­رسیم که هر جا جابجایی افقی صفر باشد، جابجایی عمودی به مقدار حداکثر خود می­رسد. با بهره گرفتن از این نمودار می­توان در روش ینگ، محدوده مربوط به موج ریلی را دقیقتر بیان کرد. این نمودار در شکل ۳-۱۱ برای مقادیر مختلف ضریب پوآسون ارائه شده است.
شکل ۳-۱۱ جابجایی عمودی و افقی ناشی از موج ریلی (Kramer, 1996)
۳-۸ انتگرال گیری عددی المان نامحدود
همان طور که در بخش­های قبلی ملاحظه شد، در توابع شکل المان نامحدود تابع انتشار موج ، وجود دارد. ماتریس جرم و ماتریس سختی ، شامل توابع شکل و در نتیجه تابع انتشار موج هستند. در واقع همانند روش المان محدود ماتریس­های جرم و سختی دیگر فقط شامل توابع چند جمله­ای از و نیستند. در عین حال حدود مربوط به انتگرال گیری المان نامحدود در جهت ، و در جهت ، هستند. با توجه به شرائط المان در جهت نامحدود ، نمی­ توان از تکنیک گائوس کوآدرچر استفاده کرد.
Bettess, (1977)، با بهره گرفتن از تکنیک گائوس لاگر که
Bettess & Zienkiewicz, (1977) نیز به آن اشاره کرده بودند، اقدام به حل مسئله جریان سیال لزج کرده بود. آنها در جهت بی­نهایت المان نامحدود از سی و دو نقطه جهت انتگرال گیری برای رسیدن به جواب قابل قبول استفاده کرده بودند. علت انتخاب این تعداد نقطه تقریب در انتخاب انتگرال عبارت هارمونیک ، به عنوان انتگرال یک چندجمله­ای بود. انتگرال گیری در این تعداد نقطه می ­تواند حجم و هزینه محاسبات را به شدت افزایش دهد. آنها به این نتیجه رسیدند که برای انتگرال گیری از چنین المانی احتیاج به روش مؤثرتری است. از اینرو فرمول انتگرالی مشابه با فرمول انتگرال نیوتن-کوتس را جهت در نظر گرفتن عبارت هارمونیک ، به عنوان عبارت هارمونیک، نه چند جمله­ای ارائه کردند. اگر از المان نامحدود در ماتریس­های جرم و سختی در جهت محدود ، با بهره گرفتن از تکنیک گائوس کوآدرچر انتگرال گیری کنیم، عبارت باقی مانده به صورت زیرخواهد بود.
(۳-۸۲)
که ، چندجمله­ای از و ضرایب و ، ثابت هستند. شرط لازم برای همگرایی انتگرال بالا است. از لحاظ فیزیکی انتشار امواج در محیط بی­نهایت همیشه با استهلاک موج همراه است، که این مطلب علت انتخاب مقدار مثبت برای را بیان می­ کند. نقاط نمونه برداری به صورت دلخواه توسط روابط زیر انتخاب می­شوند.
(۳-۸۳)
که عدد صحیح، طول موج و عدد موج است. با رابطه ۳-۸۳ از وجود صفر در قسمت حقیقی و موهومی عبارت ، در انتگرال گیری جلوگیری می­ شود. وجود عدد موج در روابط بالا و تابعیت آن از طول موج نشان دهنده این است که برای محیط الاستیک، باید طول موج­های مختلفی را در نظر بگیریم. اگر نقاط نمونه برداری هر دفعه برای طول موج­های مختلف تغییر کند، زمان محاسبات را به شدت افزایش می­دهد.
(Chow & Smith, (1981، نقاط نمونه برداری را به صورت
، پیشنهاد کرده ­اند. بنابراین نقاط نمونه برداری برای امواج با طول موج مختلف ثابت باقی ­مانده و ضرایب وزنی نقاط نمونه برداری نیز ثابت باقی می­مانند. به نظر می­رسد انتخاب چهار نقطه انتگرال گیری به علت درجه است که نهایتاً می ­تواند سه باشد.
اگر را به صورت چندجمله­ای لاگرانژ بیان کنیم، خواهیم داشت:
(۳-۸۳)
که در عبارت فوق برابر است با
(۳-۸۴)
که ، تعداد نقاط نمونه برداری است. مقادیر ، ، و به ترتیب ۲، ۴، ۶ و ۸ انتخاب می­شوند.
(۳-۸۵)
با جاگذاری رابطه فوق در رابطه ۳-۸۲ به عبارت زیر می­رسیم.
(۳-۸۶)