پله کلیدی در پیش ­بینی حرکات پی و در نتیجه عکس العمل دینامیکی تمام سازه، ارزیابی ماتریس توابع دینامیکی امپدانس برای یک پی بدون جرم صلب، هنگامی که تحت تأثیر یک بار هارمونیک با فرکانس قرار گرفته باشد، است.

شکل ۴-۲ نمایش شماتیک اندرکنش خاک-پی-سازه بصورت شماتیک، فقط برای تحریک قائم
(Yang & Hong, 2009)
در واقع توابع امپدانس دینامیکی خاک اطراف پی را با تعدادی فنر و میراگر برای حرکات مختلف پی، شبیه سازی می­ کنند. همانطور که در شکل ۴-۲ نیز پیداست، برای تحریک قائم، اثر خاک اطراف پی توسط یک فنر که نمایانگر سختی خاک و یک میراگر که نمایانگر استهلاک انرژی در خاک است، مدل سازی شده است.
در روش های تحلیلی­ای که برای محاسبه توابع امپدانس برای پی نواری با عرض در نیم فضای الاستیک، در حالت دو بعدی توسط (Luco & Westmann, (1972 و (Oien, (1971 ارائه شده ­اند، سه نوع بارگذاری مطابق شکل ۴-۳ در نظر گرفته شده است. دراین مدل بار هارمونیک قائم، بار هارمونیک افقی و لنگر هارمونیک به پی صلب بدون جرم، اعمال می­ شود و جابجایی­های پی تحت اعمال این بار­ها در فرکانس بار وارده تعیین می­ شود. در واقع با یک مسئله حالت ماندگار^[۴۴] روبرو هستیم.
۲B
شکل ۴-۳ پی نواری صلب بدون جرم روی نیم فضا و نیرو­ها و لنگر مؤثر بر آن در حالت دو بعدی (Kim, 1999)
نیرو­های هارمونیک افقی، قایم و لنگر هارمونیک در فرکانس به ترتیب به صورت زیر هستند.
(۴-۳)
در رابطه (۴-۳) عباراتی که دارای زیرنویس هستند، بزرگی بار و لنگر وارد بر واحد طول هستند. جابجایی­های ناشی از این بارگذاری­ها که جابجایی افقی، جابجایی قائم و دوران حول محور عمود بر صفحه است، به ترتیب به شرح زیر هستند.
(۴-۴)
که عبارات با زیرنویس ، بزرگی جابجایی یا دوران هستند. ارتباط بین جابجایی­ها و نیروها طبق رابطه (۴-۵) بیان می­ شود.
(۴-۵)
رابطه (۴-۵) را در فرم فشرده به صورت زیر می­توان نوشت.
(۴-۶)
که در روابط بالا، زیر نویس مربوط به حرکات صلب پی و مدول برشی برای مصالح نیم­فضا است. ترم­های بی­بعد نرمی که در ماتریس ظاهر شده ­اند تابعی از ضریب پوآسون و عدد بی­بعد فرکانس هستند. نرمی بی­بعد برای حالت قائم است. همانطور که در رابطه (۴-۵) ملاحظه می­ شود، این ترم هیچ وجه اشتراکی با ترم­های دیگر ندارد. دو ترم دیگر و که به ترتیب نرمی بی­بعد برای حالت افقی و چرخش هستند. نرمی که با نرمی برابر است و نشان دهنده ارتباط حرکات افقی و چرخش می­باشد و آن را نرمی کوپلینگ هم می­نامند. عدد بی­بعد فرکانس به صورت رابطه ۴-۷ تعریف می­ شود.
(۴-۷)
که سرعت موج برشی و نصف عرض پی، مطابق شکل ۴-۳ است.
نحوه بدست آوردن ماتریس نرمی طبق روش Dasgupta & Chopra, (1977)، بطور کامل بررسی خواهد شد. برای رسیدن به ماتریس نرمی کل، ابتدا لازم است که نرمی­های نقاط اطراف پی را بدست آوریم.
در بخش ۴-۲، صحت قسمت المان محدود برنامه بررسی شد و ملاحظه شد که نتایج برنامه و نرم­افزار تجاری آدینا از تقریب خوبی برخوردار بودند.
اما به منظور کنترل صحت برنامه نوشته شده که شامل المان محدود برای تحلیل میدان نزدیک و المان نامحدود برای تحلیل میدان دور است، به مقایسه مقادیر حاصله از برنامه و مقادیر ارائه شده توسط داسگوپتا و چوپرا، برای نرمی­های نقاط اطراف پی می­پردازیم.
۴-۴ مدل سازی با ترکیب روش های المان محدود و المان نامحدود.
۴-۴-۱ مقدمه
همانطور که در قبل هم اشاره شد روش المان محدود جهت تحلیل مسائلی که از لحاظ ابعادی محدود هستند بکار می­رود. اما بسیاری از مسائل مهندسی هستند که به نحوی با حوزه ­های بی­نهایت سر و کار دارند. بررسی اندرکنش دینامیکی خاک-سازه از بارزترین مثالها برای این موضوع است.
۴-۴-۲ کنترل صحت ترکیب روش­های المان محدود و المان نامحدود.
در این بخش برای بررسی صحت عملکرد برنامه نوشته شده، مثالی را که
Dasgupta & Chopra, (1977) در مطالعه خود با روشی نیمه تحلیلی بررسی کرده ­اند، با نتایج حاصل از ترکیب روش­های المان محدود و المان نامحدود مقایسه می­کنیم. از این مثال (Zhang & Zhao, 1987; Yerli, et al., 1999) نیز برای ارزیابی مطالعه­شان استفاده کرده ­اند.
۴-۴-۳ مثال پی ویسکوالاستیک تحت بارگذاری هارمونیک یکنواخت.
در این مثال یک نیم­فضای نیمه بی­نهایت تحت اعمال بار هارمونیک با بزرگی واحد قرار می­گیرد. شبکه ­بندی المان محدود و المان نامحدود برای این مسئله در شکل ۴-۴ قابل ملاحظه است. مشخصات مصالح به شرح زیر هستند.
یرلی برای ، ضریب استهلاک دامنه موج در روش المان نامحدود مقدار را پیشنهاد کرده است. بنظر می­رسد که این مقدار یک راز است و باید کشف شود! (چون در مقاله مربوطه هیچ اشاره­ای به آن نشده است). بعد از کمی تحقیق به این نتیجه رسیدیم که این مقدار برابر است با . که یکی از سه مقداری است که برای ضریب در نظر گرفته می­ شود. البته توضیحات مربوط به آن بطور مفصل در فصل سوم بررسی شده است.

شکل ۴-۴ شبکه بندی پی ویسکوالاستیک نیمه بی­نهایت (Zhang & Zhao, 1987)
این مسئله برای عدد بی­بعد فرکانس مساوی یک حل شده است . عدد بی­بعد فرکانس بصورت تعریف شده که عرض حوزه بارگذاری است.
در حل این مثال ، انتخاب شده است. متأسفانه یرلی در مقاله خود هیچ توضیحی در مورد روابط (۴-۸) نداده است. روابط (۴-۸) از روش داسگوپتا و چوپرا بدست آمده­اند و نرمی­های نقاط شماره­گذاری شده یا نمونه برداری در شکل ۴-۴ هستند.
(۴-۸)
و نرمی­های بی­بعد پی در جهات و بوده و شماره نقاطی است که نرمی در آنها محاسبه می­ شود که در شکل ۴-۴ هم نشان داده شده است و در نهایت مدول برشی مصالح است.
دقت شود که در بالانویس­های و در رابطه ۴-۸، اندیس دوم مربوط به جهت بارگذاری و اندیس اول مربوط به جهت جابجایی محاسبه شده است. جزئیات مربوط به این روند در بخش ۴-۵-۱ بطور مفصل بررسی می­ شود.
نتایج برنامه برای مثال فوق برای قسمت حقیقی نرمی بی­بُعد و قسمت موهومی آن در هشت نقطه در سمت راست و هشت نقطه در سمت چپ پی برای دو نوع بارگذاری قائم و افقی در شکل­های ۴-۵ تا ۴-۱۰ نشان داده شده است.
همانطور که در فصل سوم به دو دیدگاه در روش المان بی­نهایت اشاره کردیم، در حل این مثال از سه روش استفاده شده است. در دو روش اول از المان بی­نهایت با دوازده و چهار نقطه انتگرال گیری در جهت نامحدود استفاده شده که به ترتیب با ۳W12P و ۳W4P نام گذاری شده ­اند. اما در روش سوم از المان بی­نهایت با یک نوع موج استفاده شده که در آن محیط مسئله به قسمتهای مختلف تقسیم شده است. این روش ۳S4P نام گذاری شده است.
متأسفانه یا خوشبختانه مدت زمان زیادی برای دستیابی به جوابهای دقیق و خطا زدایی برنامه صرف شد. یکی از این عوامل، برنامه نویسی انتگرال­گیری عددی به روش نیوتن-کوتس برای حالت سه نوع موج بود. متأسفانه (Zhao & Valliappan, 1993; Yerli, et al., 1998) رابطه نادرستی را از لحاظ اندیسی برای این تکنیک انتگرال­گیری ارائه کرده ­اند. در اواخر این فصل نحوه انتگرال­گیری صحیح برای حالت سه نوع موج توضیح داده شده است.
همانطور که در فصل قبل تئوری روش انتگرال­گیری عددی نیوتن-کوتس اشاره شد،
Chow & Smith, (1981) در مقاله خود به استفاده از چهار نقطه نمونه گیری در جهت بی­نهایت المان نامحدود اشاره کرده ­اند. برای حل این مثال، اوائل از همان چهار نقطه استفاده شد، ولی دقت جوابهای حاصله مناسب نبود. در برنامه­ای که در نرم افزار Mathematica نوشته شد، تعداد نقاط انتگرال­گیری با فاصله یک چهارم تا دوازده نقطه افزایش داده شد. این افزایش تعداد نقاط، جوابهای برنامه را به جوابهای داسگوپتا و چوپرا بسیار نزدیک کرد. تئوری این الگوریتم در انتهای این فصل بررسی خواهد شد.
توجه شود که در اشکال ۴-۵ تا ۴-۱۰، قسمت حقیقی و موهومی نرمی­های بی­بعد در حالات ، و ، که اندیس اول مربوط به جهت بارگذاری و اندیس دوم جهت جابجایی است، برای ارائه شده است. در این اشکال نتایج مربوط به سه روش مختلف با نتایج حل نیمه تحلیلی مقایسه شده است. نتایج مربوط به حل نیمه تحلیلی (Dasgupta & Chopra, 1977) با دایره، نتایج مربوط به حالات سه نوع موج با دوازده و چهار نقطه انتگرال گیری به ترتیب با خط-مربع و علامت بعلاوه(+) و نتایج مربوط به روش آخر با علامت ستاره(*) نشان داده شده است.