در زیر خلاصه گام به گام این روش آورده شده است:
یک تخمین اولیه برای بردار در نظر گرفته و آن را می نامیم.

در جهت محور انقدر حرکت می کنیم تا حداقل شود. سپس مقدار را ثابت کرده و به مرحله بعد می رویم.
در جهت محور انقدر حرکت می کنیم تا حداقل شود. سپس مقدار را ثابت کرده و به مرحله بعد می رویم.
گام ۲ و ۳ را برای یک مسئله بهینه سازی بعدی، تا بعد و حرکت در جهت محور ادامه می دهیم.
نقطه حاصا از بهینه سازی در جهت تک تک محورها را می نامیم.
در جهت بردار حرکت می کنیم تا بردار بدست آید.
در صورتی که کمتر از باشد، را با عوض می کنیم.
الگوریتم را از مرحله ۲ به بعد آنقدر تکرار می کنیم تا در یک نقطه همگرا شود.
به منظور متوقف کردن الگوریتم HJ از دو شرط توقف استفاده می شود. شرط توقف اول رسیدن به حداقل گام حرکت و شرط دوم ارزیابی تابع هدف به میزان تعریف شده می باشد. در مسائل بهینه سازی مکان چاه های نفت به دلیل اینکه نوع مسئله گسسته می باشد، حداقل گام حرکت یک انتخاب می شود. زمانی که گام حرکت کوچکتر از یک شود الگوریتم متوقف می شود و همگرایی حاصل می شود.
یکی از مهمترین معایب روش HJ ترتیبی بودن فرایند بهینه سازی می باشد و نمی توان آن را مشابه الگوریتم های تکاملی به طور موازی اجرا کرد. مشکل دیگر این روش دستیابی به بهینه محلی می باشد و این نتیجه بسیار تاثیر پذیر از شرط اولیه شروع الگوریتم می باشد.
۲-۲-۶- الگوریتم شاخه و کران^[۵۳]
یک مسئله برنامه ریزی اعداد صحیح را در نظر بگیرید. اولین گام در الگوریتم شاخه و کران، حل مسئله بدون در نظر گرفتن محدودیت های صحیح بودن متغییرهاست. اگر پاسخ مسئله صحیح نبود، قیود جدیدی برای برش زدن این پاسخ بهینه غیر صحیح ایجاد می شود. اما در اینجا به جای گسترش مسئله اصلی با اضافه کردن یک قید، دو مسئله مجزا که هر کدام با اضافه کردن یک قید جدید به مجموعه متغیر ها ساخته می شود، ایجاد می شود. برای این منظور یک متغیر مانند ، که مقدار آن در پاسخ بهینه به دست آمده است یک عدد غیر صحیح است، انتخاب می شود. فرض کنید است. پس لز آن دو مسئله جدید با افزودن قیود و ساخته می شود. باید توجه داشت که پاسخ بهینه غیر صحیح، یک جواب قابل قبول برای هیچ یک از دو مسئله جدید نیست. اما هر پاسخ صحیح مسئله اصلی، یک جواب قابل قبول برای یکی از دو مسئله فوق نیز می باشد. هر یک از دو مسئله جدید مانند قبل بدون در نظر گرفتن قید صحیح بودن حل می شود و همان روال قبل طی می شود. اگر باز هم جواب صحیح حاصل نشد، دو شاخه جدید زده می شود و مسئله ادامه می یابد.
۲-۳- تاریخچه مسئله مکان یابی بهینه چاه های نفت
بهینه سازی تولید معمولاً به دو دسته مکان یابی بهینه چاه و کنترل بهینه چاه تقسیم می شود. در مسائل مکان یابی، موقعیت چاه ها به طور بهینه به منظور ماکزیمم یا مینیمم کردن یک تابع هدف یافته می شود، در حالی که در مسئله کنترل چاه پارامترهای چاه نظیر نرخ تزریق یا تولید چاه ها یا فشار ته چاهی^[۵۴] بهینه می شود. تاریخچه مربوط به مسئله مکان یابی چاه ها بسیار گسترده می باشد. انواع روش های مختلف بهینه سازی، تکنیک های ترکیبی، پروکسی ها، روش های متنوع اعمال قیود غیرخطی در این زمینه تاکنون مطرح شده است. در این بخش، مروری بر تاریخچه مسئله مکان یابی بهینه چاه ها خواهیم داشت.
۲-۳-۱- الگوریتم های بهینه سازی
مسئله مکان یابی بهینه چاه ها یک مسئله چند بعدی و تحت قید می باشد. الگوریتم هایی که به این مسئله ها اعمال می شود به دو دسته کلی روش های مبتنی بر گرادیان^[۵۵] و روش های آزاد از گرادیان^[۵۶] تقسیم می شود. روش های آزاد از گرادیان دارای استراتژی های متفاوت جهت جستجوی نقطه بهینه هستند. می توان الگوریتم های آزاد از گرادیان را به دو گروه روش های تصادفی، جستجوی جهانی، و روش های قطعی، جستجوی محلی، دسته بندی کرد. روش های تصادفی نظیر الگوریتم ژنتیک و یا (SimA) Simulated Annealing مدل محاسباتی الهام گرفته از طبیعت یا فرایند های فیزیکی می باشد. روش های تصادفی نیازی به محاسبه مشتق ندارند، همچنین این نوع الگوریتم ها دارای مکانیزمی جهت فرار از به دام افتادن در دام بهینه های محلی می باشد. اما این روش ها نیاز به ارزیابی زیادی از تابع هدف دارند و عملکرد آن ها وابستگی مستقیمی با نحوه تنظیم پارامتر های این الگوریتم ها دارد. در حالی که روش های بهینه سازی قطعی نقطه بهینه محلی را جستجو می کنند و نیاز به ارزیابی کمی از تایع هدف دارند اما مشابه روش های تصادفی برای جستجو نیازی به محاسبه مشتق تابع هدف ندارند.
روش های بهینه سازی بر مبنای گرادیان نیاز به محاسبه گرادیان تابع هدف نسبت به متغیرهای تصمیم گیری دارند. گرادیان تابع هدف می تواند توسط فرایند مدل کمکی^[۵۷] (در ادامه بیشتر توضیح داده خواهد شد.) یا به صورت عددی محاسبه شود. روش های مبتنی بر گرادیان با حرکت در جهت جستجوی مناسب باعث بهبود تابع هدف در هر تکرار می شود. اگرچه این الگوریتم از نظر محاسباتی بسیار کارآمد است اما مضنون به دام افتادن در بهینه های محلی می باشد. در بخش آتی، به طور دقیق تر انواع الگوریتم های آزاد از گرادیان و مبتنی بر گرادیان اعمال شده به مسئله مکان یابی چاه ها بررسی خواهد شد.
۲-۳-۲- روش های بهینه سازی آزاد از گرادیان
۲-۳-۲-۱- الگوریتم بهینه سازی تصادفی
عام ترین و معروف ترین الگوریتم تصادفی اعمال شده به مسئله مکان یابی چاه ها روش های ژنتیک و SimA می باشد. الگوریتم SimA از خاصیت سرد شدن فلزات برای یافتن پاسخ در مسائل بهینه سازی بهره می گیرد. این الگوریتم با شروع از یک نقطه در فضای جستجو و ارزیابی تابع هدف در این نقطه کار خود را آغاز می کند. نقطه جدید با تغییری کوچک در نقطه قبلی حاصل می شود. سپس تابع هدف در نقطه جدید ارزیابی می شود، اگر مقدار تابع هدف (به طور مثال برای مسئله مینیمم سازی) کمتر از نقطه قبلی باشد نقطه جدید به عنوان نقطه آغازگر بعدی انتخاب می شود. اما اگر این مقدار بیشتر از نقطه قبلی باشد، این نقطه با یک احتمال متناسب با پارامتر “دما” که نشانگر میزان پیشرفت الگوریتم می باشد قابل قبول است. این الگوریتم تا زمانی که دما به مقدار مینیمم از پیش تعیین شده ای برسد ادامه می یابد. در [۱۳]، الگوریتم SimA به منظور ماکزیمم سازی سود حاصل از برداشت وقتی که متغیرهای تصمیم گیری موقعیت چاه های افقی باشد، اعمال شده است. نوع دیگری از الگوریتم بهینه سازی تصادفی اعمال شده به مخزن روش ژنتیک می باشد. در [۱۴، ۱۵]، روش ژنتیک برای مسئله مکان یابی بهینه چاه ها به کار برده شده است. همچنین در [۱۶]، روش ژنتیک برای مکان یابی بهینه چاه های افقی در یک مخزن گازی اعمال شده است. روش ژنتیک برای مسئله مکان یابی با قیود غیرخطی در [۱۷] بررسی شده است. در [۱۸]، الگوریتم ژنتیک پیوسته برای مکان یابی چاه های نفت پیشنهاد شده است و نتایج با الگوریتم ژنتیک استاندارد مقایسه شده است که نشان دهنده پیشرفت قابل توجهی در پاسخ های مسئله بود. الگوریتم تصادفی PSO یکی دیگر از پرکاربردترین روش های بهینه سازی در امر مکان یابی چاه های نفت می باشد. در [۱۹]، الگوریتم استاندارد PSO به عنوان گزینه ای مقدم بر ژنتیک پیشنهاد شده است و نشان داده شده که به طور میانگین PSO نتایج بهتری را نسبت به روش ژنتیک دارد.
یک دسته دیگر از الگوریتم های تکاملی، روش تکاملی وفقی ماتریس کوواریانس^[۵۸] می باشد، که به مسئله مکان یابی چاه ها با مکان های نامنظم اعمال شده است [۲۰]. اختلاف نتایج این روش با آنچه که از روش ژنتیک باینری بدست آمده است، بسیار مشهود است و این حاکی از عملکرد بهتر این روش می باشد.
پاسخ های بدست آمده از روش ژنتیک یا PSO می تواند با ترکیب این روش ها با الگوریتم های بهینه سازی دیگری نظیر الگوریتم مورچه ها، جستجوی مستقیم هوک- جویز (HJ)، الگوریتم پولیتپ و یا الگوریتم تابو^[۵۹] ، بهبود یابد. در قسمت های بعد تاریخچه ای از روش های ترکیبی به کاربرده شده در مسئله مکان یابی چاه ها نیز بررسی خواهد شد. به طور کلی روش های ترکیبی پاسخ بهتری را ارائه می دهند، همچنین هزینه های محاسباتی را کاهش می دهند.
۲-۳-۲-۲- روش های بهینه سازی قطعی^[۶۰]
این دسته از روش های بهینه سازی از روش های بهینه یاب محلی هستند که کارایی این الگوریتم ها وابسته به انتخاب حدس اولیه برای شروع الگوریتم می باشد. روش های ^[۶۱]GPS، ^[۶۲]HJDS و MADS روش های بهینه سازی از این دسته هستند که مشابهت هایی نیز به یکدیگر دارند. از مزایای روش های GPS و MADS قابلیت موازی کار کردن این الگوریتم ها می باشد. برای اطلاعات بیشتر درباره نحوه پیاده سازی این الگوریتم ها به [۲۱] مراجعه شود. در [۱۱، ۱۲] نشان داده شده است که الگوریتم HJDS از لحاظ تعداد ارزیابی تابع هدف عملکرد بهتری را نسبت به الگوریتم های GPS و MADS در مسئله کنترل چاه دارد، اگرچه مشخص نیست که آیا این نتیجه برای مسئله مکان یابی نیز صادق است یا نه.
۲-۳-۳- روش های بهینه سازی ترکیبی^[۶۳]
روش های هایبرید، در واقع ترکیب دو یا چند روش بهینه سازی می باشد. این کار باعث می شود تا بتوان از ویژگی های مثبت روش های مختلف استفاده نمود. در [۲۲]، الگوریتم هایبرد با ترکیب روش ژنتیک و پولیتوپ برای مسئله مکان یابی مورد بررسی قرار گرفته است. اگرچه روش ژنتیک در یافتن ناحیه بهینه در فضای جستجو قدرتمند می باشد اما در پالایش آن و رسیدن به نقطه بهینه ضعیف و کند است. در این پژوهش الگوریتم پولیتپ برای رفع این مشکل و افزایش سرعت همگرایی مورد استفاده قرار گرفته است. در [۱۴]، با اضافه کردن شبکه عصبی و روش درونیابی Kriging به عنوان پروکسی به منظور کاهش تعداد شبیه سازی ها، کار صورت گرفته در مقاله [۲۲] بهبود یافت. در این مقاله الگوریتم ژنتیک با الگوریتم پولیتوپ و روش تخمین Kriging ترکیب شده است. سپس روش بهینه سازی ترکیبی پیشنهادی بر روی یک مخزن همگن ۱۶*۱۶ گرید با نقطه بهینه معلوم، به منظور اطمینان از صحت عملکرد روش پیشنهادی تست شده است. سپس این روش بر یک مخزن بزرگتر اعمال شده است و تاثیر اپراتورهای ژنتیک و روش ترکیبی، برای یافتن مکان بهینه چاه های تولید و تزریق بررسی شده است. پس از اعمال این روش بر روی مخازن نفتی و انجام سناریوهای متفاوت مکان یابی، مشاهده می شود که الگوریتم ژنتیک ترکیب شده قادر به کاهش تعداد شبیه سازی های مورد نیاز نسبت به الگوریتم ژنتیک معمولی می باشد. مثال های متعدد پروکسی ها در مکان یابی بهینه چاه های نفت شامل روش های Kriging، حداقل مربعات و شبکه های عصبی می باشد. پروکسی ها با تخمینی از مدل مخزن و تابع هدف، از شبیه سازی مکرر مخزن در طی روند بهینه سازی جلوگیری می کند و این عمل باعث افزایش سرعت محاسباتی می شود. در ادامه تاریخچه مختصری از روش های مبتنی بر پروکسی ها ارائه خواهد شد.
روش های بهینه سازی جهانی، محلی و ترکیب آن ها در [۱۰] انجام شده است. همچنین روش های فرا بهینه سازی^[۶۴] برای نحوه ترکیب بهینه این الگوریتم ها پیشنهاد شده است. برای الگوریتم بهینه جهانی انواع مختلف خانواده PSO نظیر CP-PSO^[65] و PP-PSO^[66] و PSO معمولی مورد بررسی قرار گرفته است. الگوریتم HJDS به منظور الگوریتم بهینه یاب محلی استفاده شده است. الگوریتم ترکیبی شامل تعدادی ارزیابی تابع هدف (یا شبیه سازی مخزن) به روش PSO و استفاده از بهترین پاسخ این روش به عنوان شرط اولیه برای الگوریتم HJDS می باشد. در این پایان نامه نشان داده شده است که برای مخازن متفاوت الگوریتم ترکیبی عملکرد بهتری را نسبت به روش های PSO یا HJDS تنها دارد.
۲-۳-۴- الگوریتم های بهینه سازی مبتنی بر گرادیان
الگوریتم های بهینه سازی بر مبنای گرادیان که به مسئله مکان یابی چاه ها اعمال شده است شامل روش های تصادفی تخمین گرادیان و روش های بر مبنای مدل کمکی می باشد. در [۲۳]، روش ^[۶۷]SPSA برای مکان یابی چند چاه عمودی اعمال شده است. الگوریتم SPSA یک روش بر مبنای تخمین گرادیان می باشد. برای محاسبه گرادیان در این روش، در هر تکرار یک جهت در فضای جستجو به طور تصادفی انتخاب می شود. با بکارگیری دو نقطه ارزیابی یکی در جهت انتخابی و دیگری در جهت مخالف، تعیین می شود که آیا تابع هدف در این جهت کاهش می یابد یا افزایش و سپس یک تقریب از مشتق تابع هدف محاسبه می شود. از ویژگی های مثبت این روش این است که در هر تکرار تنها دو بار نیاز به محاسبه تابع هدف می باشد و این تعداد ارزیابی مستقل از تعداد متغیرهای مسئله بهینه سازی می باشد. در [۲۳] نیز الگوریتم مشتق تفاضل متناهی^[۶۸] (FDG) در مسئله مکان یابی چاه ها اعمال شده است. الگوریتم FDG مشابه الگوریتم SPSA می باشد با این تفاوت که در روش FDG گرادیان به کمک تقریب تفاضل متناهی برای هر متغیر مسئله بهینه سازی محاسبه می شود. در [۲۳] نشان داده شده است که مشتق محاسبه شده به روش FDG به طور قابل مقایسه ای دقیق تر از روش SPSA می باشد، اما تعداد ارزیابی های تابع هدف به منظور محاسبه مشتق در روش FDG بیش از روش SPSA می باشد. در این پژوهش نتیجه گرفته شده است که الگوریتم SPSA نتایج بهتری را نسبت به FDG برای مسئله مکان یابی ارائه می دهد.
در [۲۳]، الگوریتم SPSA با الگوریتم ژنتیک باینری، ^[۶۹]VFSA و Simplex مقایسه شده است. نشان داده شده است که الگوریتم SPSA نتایج بهتری را در بین این الگوریتم های بهینه سازی برای مسئله مکان یابی چاه های عمودی ارائه می کند.
روش های بهینه سازی دیگری بر مبنای گرادیان به مسئله مکان یابی چاه ها اعمال شده است. در [۲۴]، روش تحت قید گوس- نیوتن برای جایابی بهینه مکان چاه های عمودی به نحوی که افت فشار مینیمم شود، به کار گرفته شده است. تابع هدف افت فشار به صورت نیمه تحلیلی بدست آمده است در حالی که مشتق تابع هدف نسبت به مکان های چاه ها به صورت عددی محاسبه شده است. در [۲۵]، مسئله بهینه سازی برای بهینه کردن تعداد و محل چاه های تزریق در یک مخزن دو بعدی بررسی شده است. روش تندترین سقوط به عنوان الگوریتم بهینه سازی انتخاب شده است.
در [۲۶]، مسئله بهینه سازی تولید به کمک تئوری کنترل بهینه ارائه می گردد. در این پژوهش که یکی از مراجع اصلی و معتبر روش های مبتنی بر گرادیان می باشد، تابع هدف سود حاصل از برداشت می باشد و متغییر تصمیم گیری نرخ تزریق چاه های تزریق کننده می باشد و همچنین معادلات دینامیک مخزن نقش قید های مسئله بهینه سازی را ایفا می کند. مبنای این روش استفاده از شبیه ساز مخزن به عنوان مدل مستقیم و محاسبه گرادیان تابع هدف به کمک مدل کمکی^[۷۰] می باشد. برنامه نویسی مدل کمکی پیچیده و زمان براست و همچنین وابسته به مدل مستقیم می باشد و بایستی با تغییر مدل مستقیم، مدل کمکی به روز شود. در این روش تمام اطلاعات مورد نیاز جهت محاسبات مربوط به مدل کمکی، در هر بار اجرای مدل مستقیم ذخیره می شود. سپس مدل کمکی، تنها با چیدمان صحیح اطلاعات گرادیان تابع هدف را محاسبه می کند. پیچیدگی محاسبه گرادیان به روش مدل کمکی به اندازه دشواری شبیه سازی مخزن یا همان مدل مستقیم می باشد. این مشکل یکی از بزرگترین نقایص این روش می باشد که منجر به عدم محبوبیت این روش در صنعت نفت شده است. واضح است که در این تحقیق مسئله کنترل بهینه چاه به جای مسئله مکان یابی مد نظر قرار گرفته است. اما باید خاطر نشان کرد که نتایج این پژوهش به طور غیر مستقیم در مسئله مکان یابی بهینه چاه های نفت مورد استفاده قرار می گیرد.
در [۲۵]، الگوریتم سریع ترین سقوط را به مسئله اعمال کردند. آن ها مسئله مکان یابی یک یا چند چاه تزریق در یک مخزن دو بعدی به گونه ای که NPV حداکثر شود، مورد توجه قرار دادند. ایده اصلی روش به این صورت است که در ابتدا در هر گریدی که شامل چاه برداشت نیست، یک چاه تزریق در نظر گرفته می شود، و پس از آن در هر مرحله از الگوریتم تعداد چاه ها کاهش می یابد تا زمانی که تعداد بهینه ای از چاه ها در مکان بهینه باقی بماند. برای این منظور تابع هدف به همراه هزینه حفر چاه در نظر گرفته می شود. بنابراین هر چه تعداد چاه های تزریق حفر شده بیشتر باشد، هزینه نهایی حفر چاه ها بیشتر می شود و در نتیجه تابع هدف کاهش می یابد. الگوریتم به کمک مدل کمکی در هر مرحله گرادیان تابع هدف اصلاح شده را نسبت به نرخ هر چاه محاسبه می کند و بدین ترتیب بهبود می یابد که بنای اصلی این محاسبات از [۲۶] نتیجه شده است. در ادامه با بکارگیری روش سریع ترین سقوط از این گرادیان ها برای محاسبه نرخ بعدی هر چاه استفاده می کند. هر گاه نرخ یک چاه به سمت صفر برود، آن چاه حذف می شود. این روش کاربرد غیر مستقیم روش گرادیان است زیرا به جای محاسبه گرادیان تابع هدف نسبت به پارامترهای حقیقی بهینه سازی، گرادیان آن نسبت به نرخ چاه ها محاسبه می شود. اما چون الگوریتم با حفر یک چاه در هر گرید کارش را شروع می کند و در هر مرحله تنها یک چاه قابل حذف است، این روش برای مسائل با ابعاد بزرگ مناسب نمی باشد. مقاله [۲۷]، با تغییر کوچکی در نحوه جستجو توانسته است در هر مرحله بیش از یک چاه تزریق را حذف کند.
ایده اصلی روش ارائه شده در [۲۸]، این است که هر چاهی که قرار است بهینه شود، با ۸ چاه کاذب در ۸ گرید همسایه محاصره شود و هر کدام از این چاه ها دارای یک نرخ تولید بسیار کم است تا اثر آن بر رفتار فلوی مخزن حداقل شود. پس از آن یک مدل کمکی برای محاسبه گرادیان تابع هدف (ارزش حال پروژه) نسبت به نرخ هر چاه کاذب در طول عمر مخزن استفاده می شود. بزرگترین گرادیان مثبت در بین ۸ گرادیان، تعیین کننده جهتی است که چاه اصلی باید در آن جهت حرکت کند تا تابع هدف افزایش یابد. به عبارت دیگر، جهت مناسب به کمک مکان چاه کمکی با بزرگترین گرادیان مثبت تعیین می شود. این روش را نیز کاربرد غیر مستقیم گرادیان می نامند چرا که در اینحا به جای استفاده از گرادیان تابع هدف نسبت به پارامترهای حقیقی بهینه سازی، از گرادیان تابع هدف نسبت به نرخ چاه های کمکی استفاده می شود.
از مزایای مهم روش های مبتنی بر مدل کمکی کارامدی آن ها از نظر محاسباتی می باشد. اما این روش مضنون به دام افتادن در بهینه های محلی می باشد و همچنین پاسخ بهینه آن به شرایط اولیه نیز وابسته می باشد. به علاوه، استفاده از تکنیک چاه های کاذب برای مسئله مکان یابی دارای چالش های بی پاسخی نظیر وجود چاه های غیرمعمول مثل چاه های چند لایه ای می باشد که در [۲۸] این نوع چاه ها بررسی نشده است. اگرچه در [۲۹] با تغییراتی در تکنیک چاه های کاذب این مسئله بررسی شده است. در نهایت باید به این نکته توجه نمود که در روش های بر مبنای مدل کمکی بایستی به کد شبیه سازی های مخزن جهت محاسبه گرادیان دسترسی داشت، در صورتی که در دیگر روش های بهینه سازی به این اطلاعات نیازی نمی باشد.
مکان یابی بهینه چاه ها به کمک الگوریتم های تصادفی نیازمند تعداد زیادی ارزیابی تابع هدف می باشد که هر ارزیابی ملزم به اجرای مدل مخزن می باشد. هزینه های محاسباتی در این نوع الگوریتم ها به چندین شیوه می تواند کاهش یابد. استفاده از پردازنده های موازی جهت اجرای شبیه ساز مخزن، به کار بردن مدل های نیمه تحلیلی برای مخزن و یا استفاده از مدل جایگزین^[۷۱] (پروکسی) مخزن از راه کارهای پیشنهاد شده می باشد. در بخش بعدی، برخی از روش های بر مبنای پروکسی که در مسئله مکان یابی چاه ها به کار گرفته شده است توضیح داده خواهد شد.
۲-۳-۵- کاربرد پروکسی ها
پروکسی ها از نظر محاسباتی بسیار سریع هستند و تقریبی از مدل مخزن ارائه می دهند. این روش ها با کاهش تعداد شبیه سازی ها در طی فرایند بهینه سازی از بار محاسباتی مسئله بهینه سازی می کاهند. در واقع پروکسی ها با محاسبه تقریبی از تابع هدف از ارزیابی زیاد آن جلوگیری می کند. در موارد بسیاری از روش پروکسی ها در مسائل مکان یابی بهینه چاه ها استفاده شده است. این تکنیک ها شامل روش هایی نظیر Kriging که یک نوع درونیاب است [۳۰]، حداقل مربعات [۳۱]، شبکه های عصبی [۳۲] و روش های فازی- عصبی می باشد.
۲-۳-۶- بهینه سازی تحت قید
در مسائل بهینه یابی مکان چاه، غالباً دو دسته قید بررسی می شود: محدودیت مربوط به متغییرهای تصمیم گیری و قیدهای عملیاتی.
قیدهای محدودیت متغیرها به دلیل محدود بودن پاسخ مسئله در یک بازه مشخص جستجو به وجود می آید. برای مثال تمام چاه ها باید در یک ناحیه معین و قابل حفر، حفر شوند. قیدهای عملیاتی در پروژه های توسعه مخازن ظاهر می شود. محدودیت فاصله چاه ها از یکدیگر، قیدهای مربوط به نحوه برنامه ریزی حفر چاه، محدودیت نرخ تولید و تزریق چاه ها و امکانات تولید، محدودیت تعداد چاه ها و غیره از دسته قیدهای عملیاتی می باشد. ترکیب این قید ها منجر به پیچیدگی مسئله مکان یابی می شود.
راهکارهای مختلفی جهت در نظر گرفتن قیود در مسئله بهینه یابی مکان چاه پیشنهاد شده است. معمولترین روش استفاده از روش جریمه^[۷۲] می باشد، به طوری که پاسخ های نشدنی^[۷۳] جریمه می شوند [۳۲] یا به تابع هدف آن ها یک مقدار منفی بزرگ اختصاص داده می شود [۳۳]. نحوه اعمال قید های مختلفی نظیر ماکزیمم طول چاه و مینیمم فاصله بین دو چاه در [۳۴] بیان شده است. در این پژوهش از الگوریتم ژنتیک باینری استفاده شده است. در این روش دو دسته جمعیت وجود دارد که هر عضو بسته به نقض کردن یا نکردن قیدها به یکی از این جمعیت ها تعلق دارد. زمانی که عضوی قیدی را نقض می کند از اپراتوری برای بهبود این عضو به نحوی که به یک پاسخ شدنی تبدیل شود، کمک گرفته می شود.
فصل سوم
توصیف معادلات حاکم بر مخزن، گسسته سازی و شبیه سازی
۳-۱- مقدمه
با توجه به اینکه مدل ریاضی حاکم بر مخرن نقش قید های مسئله بهینه یابی مکان چاه های نفتی را ایفا می کند، بررسی دقیق معادلات مخزن امری ضروری می باشد. در این فصل ابتدا معادلات توصیف کننده مخزن بیان می‌گردد و در ادامه‌ نحوه گسسته سازی و حل عددی این معادلات توضیح داده می‌شود. پس از ذکر مطالب فوق، مدل مخزن بر پایه ی روش سنتی Finite Difference و Streamline معرفی می گردد. بعد از ایجاد شناخت کافی، به مقایسه‌ی این دو روش معروف مدلسازی مخازن می‌پردازیم و در ادامه نرم افزار FrontSim به عنوان یکی از نرم افزارهای شبیه ساز مخزن بر پایه Streamline معرفی خواهد شد. در انتهای فصل نیز نحوه لینک آن را به نرم افزار متلب بررسی خواهیم کرد.
۳-۲- معادلات مخزن
معادلات مخزن در اکثر مراجع مهندسی مخازن آمده است. مطالب این بخش عمدتاً از مراجع [۳، ۳۵] گرد آوری شده است. به طور معمول، معادلات جریان برای جریان سیال در محیط متخلخل بر اساس معادلات پایستگی جرم، اندازه حرکت، انرژی و معادلات ضروری برای سیالات و محیط متخلخل بدست می آیند. برای سادگی، معادله انرژی با فرض وجود شرایط همدمایی، نادیده گرفته می شود. اگرچه در شرایطی که دمای مخزن تغییر می کند، مانند عملیات حرارتی یا تزریق آب سرد به داخل مخزن گرمتر، معادله انرژی مهم بوده و باید در نظر گرفته شود.