بازگشتی؟

• • نیازی به ذخیره­ی تمام اندازه­ های قبلی و پردازش مجدد تمام داده ­ها در هر مرحله از زمان نیست.

کلمه­ی بازگشتی به این معنی است که، بر خلاف برخی از مفاهیم پردازش داده ­ها، فیلتر کالمن نیازی به ذخیره­سازی داده ­های قبلی و پردازش مجدد پس از هر بار گرفتن اندازه ­گیری­های جدید ندارد.
فیلتر کالمن تمام داده ­های اندازه ­گیری موجود را به علاوه­ی دانش قبلی در مورد سیستم و دستگاه­های اندازه ­گیری ترکیب می­ کند تا تخمینی از متغیرهای مورد نظر به صورتی که خطای آماری به حداقل برسد را تولید کند. به عبارت دیگر، اگر برای یک برنامه تعدادی از فیلترهای نامزد را چندین بار اجرا کنیم، سپس نتایج میانگین فیلتر کالمن بهتر از نتایج میانگین دیگر فیلترها خواهد بود. به طور مفهومی آنچه هر فیلتر تلاش می­ کند انجام دهد به دست آوردن تخمین بهینه­ مقادیر مورد نظر از داده ­های ارائه شده توسط یک محیط نویزی است. “بهینه” به معنی به حداقل رساندن خطا است.

مفروضات اساسی
در این مرحله نگاهی به دو فرض اساسی در تدوین فیلتر کالمن می­اندازیم.
“سفیدی” حاکی از آن است که مقدار نویز در زمان همبسته نیست. با بیان ساده­تر، اگر می­دانیم مقدار نویز در حال حاضر چقدر است این دانش به ما در پیش ­بینی مقدار آن در هر لحظه­ دیگر کمک می­ کند. سفیدی نیز حاکی از آن است که نویز دارای توان مساوی در تمام فرکانس­ها است.
درحالی که سفیدی مربوط به روابط زمان و فرکانس نویز است، گاوسی به دامنه­ آن کار دارد. این فرض می ­تواند به صورت فیزیکی توجیه شود توسط این واقعیت که نویز سیستم یا اندازه ­گیری به طور معمول توسط تعدادی از منابع کوچک ایجاد می­ شود. این می ­تواند به صورت ریاضی نشان داده شود وقتی که تعدادی از متغیرهای تصادفی مستقل با هم جمع می­شوند، اثر جمع خیلی تزدیک به چگالی احتمال گاوسی، بدون در نظر گرفتن شکل تراکم فردی است[۱۷].
فرضیات پشت فیلتر کالمن
مدلی که برای پیش ­بینی “حالت” استفاده می­کنیم نیاز دارد که یک تابع خطی از اندازه ­گیری باشد.
خطای مدل و خطای اندازه ­گیری (نویز) باید گاوسی با میانگین صفر باشد.
اگر نویز گاوسی نباشد؟
با توجه به تنها میانگین و انحراف معیار نویز، فیلتر کالمن بهترین تخمینگر خطی است. تخمینگرهای غیرخطی ممکن است بهتر باشند.
چرا فیلتر کالمن اینقدر معروف است؟
نتایج خوب در عمل با توجه به بهینگی و ساختار
فرم مناسب برای پردازش لحظه به لحظه­ آنلاین
تدوین و فرموله و پیاده­سازی آسان با توجه به درک اساسی.
معادلات اندازه ­گیری نیاز به معکوس شدن ندارد[۱۸].
فیلتر کالمن چگونه کار می­ کند؟
به روز رسانی بازگشتی (آنلاین) تخمین حالت فعلی و دقت (کوواریانس)
استفاده از مدل سیستم
پیش ­بینی حالت بعدی
تخمین دقت جدید (کاهش یافته)
استفاده از اندازه ­گیری جدید
تصحیح تخمین حالت
به روز رسانی دقت (افزایش یافته)
فیلتر کالمن، فیلتر فضای حالت است. برای اندازه ­گیری­های نویزی تخمین حالت تمیزی می­دهد. تخمین­ها با هریک از اندازه ­گیری­های جدیدبه صورت آنلاین به روز می­شوند. معادل با (به صورت بهینه) یک فیلتر تطبیقی پایین­گذر (IIR) است.
مدل فضای حالت به صورت زیراست:
بردار متغیرهای حالت پنهان
بردار مشاهدات
بردار ورودی­های کنترل
خطی گاوسی
غیرخطی
برای مدل­های فضای حالت غیرخطی
شکل۱۵
تکامل حالت توسط شکل۱۶ داده شده است.
شکل ۱۶
که در آن X بردار حالت است که قصد داریم تخمین بزنیم، A(t) مربع ماتریس انتقال فرایند است، کنترل b(t) داده شده و نویز فرایند با متوسط صفر w(t) با کوواریانس شناخته شده وجود دارد. این نویز w(t) مستقل از X(t) است.
بردار اندازه ­گیری شده y(t) توسط معادله­ اندازه ­گیری داده شده است:
H(t) ماتریس اندازه ­گیری مستطیلی است، v(t) نویز اندازه ­گیری با متوسط صفر، با کوواریانس شناخته شده است. نویز v(t) مستقل از X(t) است. اندازه­ w(t) اندازه­ x(t) است؛ اندازه­ v(t) اندازه­ y(t) است. کوواریانس بردار حالت X(t) برابر است با:
که در آن ترانهاده (احتمالا مزدوج) X است. هدف فیلتر کالمن استنباط y(t) از بردار X(t) است که ماتریس کوواریانس، پایین­ترین نرم (تریس آن( را دارد.
مراحل تخمین عبارتند از:
پیش ­بینی حالت X(t):
به روز رسانی متوسط ماتریس کوواریانس حالت:
محاسبه­ی گین بهینه
این گین بهینه بستگی به ویژگی­های آماری نویز اندازه ­گیری دارد.
به روز رسانی ماتریس کوواریانس حالت:
یا به عنوان تابعی از بیان می­ شود
محاسبه­ی تخمین حالت جدید: