(۱‑۱۰)
در نتیجه :
(۱‑۱۱)
رابطه (۱‑۶) و رابطه فوق نشان میدهد که نماهای رشد از هم مستقل نبوده و بصورت زیر به هم وابسته هستند.
(۱‑۱۲)
۱-۱-۲ طول همبستگی
سؤالی که در اینجا مطرح می شود این است که چرا سطح به اشباع میرسد؟ طبق رابطه و اگر طول سیستم به سمت بینهایت میل کند، ()، هر دو این مقادیر نیز به بینهایت میل می کنند و سیستم هرگز به اشباع نمیرسد. اما میدانیم که برای همه سیستمهای واقعی (فیزیکی) طول سیستم، L، مقدار محدودی است. بنابراین پهنای فصل مشترک در یک زمان متناهی به اشباع خواهد رسید. یعنی اینکه پدیده اشباع مربوط به اثر طول محدود[۲۷] سیستم است.
اما چه مکانیسمی باعث اشباع سیستم می شود و سیستم چگونه میداند که چه وقت به اشباع برسد؟ پاسخ این سوال بواسطهی وجود یک ویژگی مهم در اغلب سطوح، یعنی وجود همبستگی[۲۸] در سیستم است.
یکی از خواص اکثر فرآیندهای رشد، وجود همبستگیهای گسترش یافته در طول سیستم است. همبستگی ایجاب می کند که مکانهای متفاوت سطح کاملاً مستقل از هم نبوده و به عبارت دیگر، ارتفاع هر مکان بصورت مستقل رشد نکرده و وابسته به ارتفاعهای مکانهای همسایه میباشد، بنابراین افت و خیزهای[۲۹] ارتفاع بصورت افقی گسترش یافته و با وجود اینکه فرایند رشد، موضعی است اما بخاطر رشد جانبی[۳۰]، اطلاعات در مورد هر یک از همسایهها بطور سرتاسری گسترش مییابد. بیشترین فاصلهی مشخصهای که ارتفاعها به یکدیگر همبستهاند طول همبستگی ( ) نامیده می شود. طول همبستگی طولی است که درآن رفتارهای میکروسکوپیک با هم همبستهاند و یا اجزای سیستم درآن فاصله میتوانند روی هم اثر بگذارند.
در ابتدای فرایند رشد مکانها غیر همبستهاند[۳۱] ودر طول انباشت، با زمان رشد می کند. برای یک سیستم با طول خطی محدود، نمیتواند بطور نامحدودی رشد کند چرا که توسط طول خطی سیستم یعنی L کنترل می شود. وقتی با طول خطی سیستم مساوی شد، کل سطح همبسته شده و در نتیجه پهنای فصل مشترک به اشباع می رسد. در زمان اشباع، ، خواهیم داشت:
(۱‑۱۳)
و چون زمان با طول سیستم بصورت مرتبط است داریم:
(۱‑۱۴)
و برای زمانهای قبل از اشباع خواهیم داشت:
(۱‑۱۵)
طول همبستگی در راستای رشد (طول همبستگی عمودی[۳۲]) را نیز با ، ، نمایش می دهند. این کمیت نوسانات در جهت رشد را مشخص می کند و رفتار حاکم بر روابط مقیاسی آن کاملاً مشابه با رفتار پهنای فصل مشترک است.
۱-۲ مدل های رشد سطح
برای مطالعه فرآیندهای رشد سطح، مدلهای مختلفی بسته به شرایط اعمالی بر سیستم در موقعیتهای مختلف، ارائه می شود. با توجه به این مدلها مشخصاتی که از این سطوح بدست میآیند متفاوت خواهد بود. در ادامه بطور مختصر به معرفی مهمترین این مدل ها می پردازیم. جزئیات بیشتر در مورد این مدل ها در [۱و۲] آمده است.
۱-۲-۱ مدل های گسسته
۱-۲-۱-۱ مدل انباشت تصادفی
این مدل ساده ترین مدل رشد سطح است. در این مدل ذره از یک مکان تصادفی انتخاب شده بالای سطح، بصورت عمودی سقوط می کند و بر روی ستون زیرین خود مینشیند. بنابراین الگوریتم شبیهسازی بسیار ساده و بصورت زیر است:
مکان i ام بصورت تصادفی انتخاب می شود و ارتفاع آن ،، یک واحد افزایش مییابد. شکل ۱-۴ طرح کلی این مدل را نشان می دهد .
شکل ۱‑۴: مکانیزم نشست در مدل انباشت تصادفی. ذرهی A درA’ و ذرهی B در B’ مینشیند.
مهمترین ویژگی مدل طبیعت غیرهمبستهی آن است. از آنجایی که هر ستون بطور مستقل رشد می کند، هیچ مکانیزمی وجود ندارد که همبستگی را در طول سیستم ایجاد کند لذا طول همبستگی همیشه برابر صفر است، پهنای فصل مشترک بطور نامحدود با زمان افزایش مییابد و سیستم هیچگاه به اشباع نخواهد رسید. نمای زبری برای این مدل تعریف نشده و یا اصطلاحاً در نظر گرفته میشود. شکل ۱-۵ تحولات دینامیکی سطحی را نشان میدهد که توسط این مدل تولید شده است. حضور سایه ها سطح را در بازه های زمانی مختلف نشان می دهد.
مدل بعلت طبیعت غیر همبستهی خود بطور دقیق قابل حل است. بطوریکه میتوان تمام کمیتهای مربوطه را براحتی بصورت زیر، برای این مدل بدست آورد.
از آنجایی که هیچ همبستگی بین ارتفاع ستونها وجود ندارد، هر ستون بطور مستقل با احتمال رشد می کند، که بیانگر اندازه سیستم است. احتمال اینکه ارتفاع یک ستون بعد از نشست ذره برابر با باشد برابر است با :
(۱‑۱۶)
زمان را میانگین لایه های نشسته شده تعریف میکنیم:
(۱‑۱۷)
در نتیجه میانگین ارتفاع بطور خطی با زمان رشد می کند:
(۱‑۱۸)
همچنین به راحتی قابل محاسبه است:
(۱‑۱۹)
بنابراین پهنای فصل مشترک برابر است با:
(۱-۲۰)
و چون است داریم:
(۱‑۲۰)
یعنی نمای رشد برای این مدل برابر است با:
(۱‑۲۱)
شکل ۱‑۵: نمونه ای از سطح تولید شده توسط مدل. سایه ها سطح را در زمانهای متوالی با بازههای زمانی یکسان نشان می دهند.
۱-۲-۱-۲ مدل انباشت تصادفی با واهلش سطحی
در این مدل نیز مانند مدل ذره از یک موقعیت تصادفی بالای سطح بطور قائم رها شده و روی سطح مینشیند، برای وارد کردن فرایند واهلش[۳۳]، به ذرهی نشسته شده اجازه داده می شود تا در یک فاصلهی محدود در طول سطح از بالا به پایین جابجا شود تا مکانی را با کمترین ارتفاع پیدا کرده و در آنجا قرار گیرد. در شکل ۱‑۶ طرحی از این مدل ارائه شده است.
شکل ۱‑۶: مدل نشست تصادفی با واهلش سطحی. ذره پس از نشست به مکانی با کمترین ارتفاع سقوط می کند.
در روش ، ذره پس از نشست به کمترین ارتفاع در همسایههای مجاور سقوط می کند، بنابراین در طی این فرایند همبستگی بین ارتفاعهای همسایه ایجاد خواهد شد. این همبستگی منجر به همبسته شدن کل سطح شده و نهایتاً منجر به اشباع سطح مشترک خواهد شد.
بعنوان یک نتیجه از فرایند واهلش در این مدل، سطح مشترک ایجاد شده در مقایسه با مدل بدون واهلش هموارتر خواهد بود. شکل ۱-۷ نمونه ای از سطح رشد یافته توسط این مدل را نشان میدهد. این مدل بدلیل پیچیدگیهای ناشی از وجود همبستگی حل دقیق ندارد. نتایج شبیه سازی رشد یک سطح یک بعدی با روش نشان میدهد که نماهای مقیاسی این روش عبارتند از:
(۱‑۲۲)
شکل ۱‑۷ : سطح تولید شده توسط شبیه سازی مدل در زمان های متوالی و در بازه های زمانی یکسان.
۱-۲-۱-۳ مدل انباشت پرتابی
در این مدل ذره از یک موقعیت تصادفی بالای سطح و دور از ارتفاع بیشینه رها می شود و پس از طی یک مسیر قائم به طرف سطح، در اولین تماس با سطح به آن خواهد چسبید. در شکل ۱-۸ طرحی از این مدل آورده شده است.
