: تا هنگامی که پارامترهای نامعلوم W ثابت فرض شوند رابطه‌ی مساوی برقرار است.
را از رابطه (۴٫۸) جایگزین می‌کنیم:
باتوجه خاصیت تقارن مورب ماتریس‌ها میتوان گفت که:
بنابراین:
حال با اعمال قانون تطبیقی به صورت:
به معادله زیر می انجامد:
که همواره کوچکتر یا مساوی صفر است یعنی:
بنابراین V و نتیجتا محدود بوده و به مقادیر مشخص همگرا میشوند. قانون کنترلی بیان شد پایدار است از رابطه (۴٫۳) محدود بودن ، ، و را نیز میتوان استنباط نمود در نتیجه همین‌طور در مورد و .
به همین صورت و با استنتاجی مشخص با بهره گرفتن از روابط (۶,۵,۴٫۴) محدود بودن به ترتیب ، و قابل بیان است. از رابطۀ میتوان گفت که بنابراین نتیجتاً ، از این رو میتوان استدلال کرد که و به مقادیر از پیش تعیین شدهشان میل میکنند.
شبیهسازی
برای نشان دادن کارایی کنترل کنندۀ پیشنهادی، شبیهسازی تحت شرایط زیر برای بازوی ربات به فرم (شکل ۴٫۲) انجام خواهد شد.
دو بازو دارای طول یکسان به اندازۀ هستند. وزن بازوها به ترتیب و است. ماتریس معادل صفر در نظر گرفته می شود. معادلات دینامیک به صورت زیر تعریف میشوند.
ماتریس رگراسور با شرط با بردار تخمین به صورت زیر است.
موقعیت زاویهای یا مکان دو بازو به عنوان پاسخ پلۀ سیستم در نظر گرفته شده و همانطور که مشاهده می شود (شکل ۴٫۳) سیستم مشابه یک سیستم مرتبه ۲ میرای بحرانی با فرکانس طبیعی رفتار می کند.
شکل ۴٫۲- نمای دو بعدی بازوی رباتیک
شکل ۴٫۳- سیگنالهای مرجع مکان و سرعت بازوها
نتایج
خطای مکان و سرعت بازوها با دامنهای نسبتاً کوچک به سمت صفر و مقادیر سرعت و مکان به سمت مقادیر از پیش تعیین شده میل می کنند (شکل ۴٫۴). اگرچه عملکرد سیستم در ردگیری رضایتبخش بوده، اما در این طراحی از جنبه های مهمی ماننداصطکاک و اغتشاش صرف نظر شده است. این موارد اثرات مهمی بر پایداری و رفتار سیستم، که مسالۀ اساسی کنترل کلاسیک هستند، دارند (شکل ۴٫۵). در قسمت بعدی طراحی با در نظر گرفتن این موارد برای بازوی منعطف انجام میپذیرد.
شکل ۴٫۴- پاسخ بازو با مقادیر نامی: (a) خطای مکان؛ (b) پارامتر
شکل ۴٫۵- پاسخ بازو با اصطکاک کولمبی : (a) خطای مکان؛ (b) پارامتر
طراحی کنترل‌کننده تطبیقی با هدف خنثی کردن اصطکاک
در اینجا از فرمول‌هایی برای خنثی کردن اصطکاک استفاده می‌شود [۴۷]..
مدل اول به صورت زیر خواهد بود.
(۴٫۹)
که در این رابطه
نیروی اصطکاک:
اصطکاک کولمبی:
اصطکاک چسبندگی:
اصطکاک استاتیک:
جابجایی:
سرعت کاهش میزان اصطکاک استاتیک:
عملاً میتوان گفت که:
(۴٫۱۰)
ذکر این نکته ضرورت دارد که باوجود افزایش پیچیدگی غیرخطی با حضور مدل‌های اصطکاکی در سیستم به میزان قابل توجهی دقت در شبیهسازی رفتار دینامیک سیستم بالا می‌رود [۴۷].
رابطه‌ی (۴٫۹) را میتوان به فرم رگرسیون خطی نوشت به طوری که[۴۷,۴۸]:
(۴٫۱۱-آ)
(۴٫۱۱-ب) =
(۴٫۱۱-ج)
در ادامه مدل فوق به عنوان مدل کامل مورد بررسی قرار می‌گیرد.
در سیستم کاهش سرعت یک مرحله‌ای، مدل انعطاف‌پذیر فشرده، در صورتی که خم‌شدگی کامل فقط در چرخنده‌ها اتفاق بیافتد، می‌تواند مورد استفاده قرار گیرد.
دراینجا اینرسی چرخنده‌های ورودی با اینرسی محرک‌ها ( ترکیب می‌شود و همین طور اینرسی خروجی با اینرسی بار .
همان طور که در [۴۹] نشان داده شده است از این روش حتی در سیستم‌های کاهش چند مرحله‌ای هم استفاده شده است مانند چرخنده‌های سیاره‌ای سنگین و …. .
با داشتن مدل اصطکاکی (۴٫۱۱) و و در رابطه‌ی (۴٫۲) میتوان گفت:
