در حالی است که افراد در زندگی روزانه به چنین مهارت‌هایی یعنی تفکر نقادانه، استدلال و اثبات زیاد نیازمندند. انسان‌ها باید یاد بگیرند که در تصمیم گیری‌های اساسی تصمیم‌های منطقی و آگاهانه بگیرند و بتوانند دلایل کافی برای انتخاب‌های خود ارائه کنند. علم ریاضیات یکی از بهترین دانش‌ها برای توسعه‌ی چنین مهارت هاست پس می‌بایست مهم‌ترین ‌هدف تدریس ریاضیات را، آموزش استدلال منطقی به دانش‌آموزان بدانیم. تا شهروندانی با توانائی استدلالی مناسب تربیت کنیم. کیفیت زندگی هر فرد به چگونگی اندیشه‌ی او وابسته است. کسانی که نقادانه می‌اندیشند، به همان نسبت می‌توانند سئوالات مناسب‌تر بپرسند و اطلاعات مربوط به هم را بهتر جمع آوری کنند، این اطلاعات را به طور صحیح‌تری دسته‌بندی نمایند، دلایل منطقی آن‌ها را استخراج کنند و به نتایج بهتری دست یابند. علاوه بر این آن‌ها می‌توانند با بررسی مداوم و ماهرانه‌ی تفکرات خود، کیفیت تفکرشان را توسعه داده و بنابراین زندگی موفق‌تری را برای خود طرح ریزی کنند.

در بخش ۳- ۵ دانش‌آموزان بیشتر، در کلاس‌های با انگیزه و فعالی ظاهر می‌شوند که آن‌ها را به فعالیت هوشی وادارند. معلمانی را دوست دارند که بیشتر، آن‌ها را به فکر وا می‌دارند. درس‌هایی را ترجیح می‌دهند که از آن‌ها بخواهند تفسیر کنند، تجزیه و تحلیل کنند، اطلاعات را دستکاری کنند و یا دانش و مهارتی را که آموخته‌اند در مسائل تازه و موقعیت‌های تازه به کار ببرند.
در بخش ۳-۶ الکساندر یاکووله ویچ خین چین: از اهرم‌های تربیتی ریاضیات دقت منطقی و استواری نتیجه گیریهایی است که موجب می‌شود که فرد با تفکری منطقی بار آید. از طرف دیگر آگاهی‌های مضمونی- عینی باعث وسعت بخشیدن دیدگاه‌های فرد می‌شود و سطح کلی فرهنگ را بالا می‌برد. و زمینه را برای تربیت سیاسی و جهت گیری‌های انسانی و میهنی او فراهم می‌کند. ریاضیات، امکان‌های ملموس زیادی در تربیت اخلاقی دارد. همچنین باید یاد کنیم از تأثیر تربیتی داده‌هایی که در متن مسأله‌ها وجود دارد. منطقی کردن اندیشه، مسأله‌ی اصلی و نخست معلم ریاضیات است، به نحوی که آشنایی دانش‌آموزان با خود محتوای دانش ریاضی، در مقایسه با آن، باید در مرحله‌ی دوم قرار گیرد. جنبه‌ی کلی و اساسی عملکرد تربیتی آموزش ریاضیات، که تا حد زیادی، موجب پایدار شدن جنبه‌های دیگر این عملکرد است، همان عادت کردن دانش‌‌آموزان و ارزش استدلال است.در ریاضیات، استدلال‌هایی که خصلتی کامل نداشته باشند و نتوانند کار را، به طور مطلق، به پایان برسانند و کوچکترین امکانی برای اعتراض باقی بگذارند، بی رحمانه اشتباه به حساب می‌آیند و، به عنوان چیزی بی فایده، کنار گذاشته می‌شوند، در ریاضیات، نمی‌توان و نباید حکمی را تا «نیمه» و یا «به تقریب» ثابت کرد؛ یا استدلال کامل وجود دارد که هیچ گونه بحثی را، درباره‌ی حکمی ثابت شده باقی نمی‌گذارد و یا به طور کلی استدلالی وجود ندارد. دانش‌آموزی که در برابر همه‌ی اعتراض‌ها دفاع می‌کند و ناچار می‌شود همه‌ی انتقادهای دیگران را ساکت کند، ناگزیر از طعم ناشی از شادی پیروزی هم لذت می‌برد. در ضمن، به روشنی احساس می‌کند که استدلال کامل و درست، تنها سلاحی است که او را به این پیروزی می‌رساند. هر بار که این موضوع را احساس کند، به ناچار یاد می‌گیرد که به این سلاح احترام بگذارد و سعی کند آن را، همیشه همراه خود داشته باشد و به طور طبیعی نه تنها در ریاضیات، بلکه در هر بحث و مناظره‌ای بیشتر و پیگیرانه تر، به سمت استدلال کامل و درست کشیده می‌شود. وآن وقت،هربار که با مسأله‌ای مواجه می‌شود، تلاش می‌کند تا از تمام ذخیره‌ی استدلال‌هایی که در چنین موقعیتی به کار می‌آیند، برای خلع سلاح مخالفان خود استفاده کند. این روند تربیتی، برای منطقی کردن تفکر، اهمیتی تعیین کننده دارد.
- مبارزه علیه تعمیم‌های غیرقانونی: طبیعی دان، نتیجه‌گیری هایش بر اساس استنتاج‌های استقرایی است که یکی از اساسی‌ترین ‌محورهای روش شناسی در این نوع دانش‌ها است اما در ریاضیات، وضع به طور اساسی، به گونه‌ی دیگری است. یعنی نتیجه‌گیری هایش براساس استدلال قیاسی است که خاص ریاضیات است و درباره‌ی دانش‌های طبیعی و زندگی عملی، به هیچ وجه قابل اجرا نیست. ولی عادت به دقت انتقادی، برای هرگونه تعمیمی ضرورت دارد.
- مبارزه علیه شبیه سازی‌های بی پایه: نتیجه‌گیری از راه شباهت، چه در دانش‌های تجربی و چه در زندگی عادی، روشی معمولی و قانونی، برای کشف قانون مندی‌های تازه است. در ریاضیات، نتیجه‌گیری از راه شباهت به طور کلی، منع شده است، تربیت ریاضی ذهن و خو گرفتن به این موضوع، که نتیجه‌گیری براساس شباهت، تنها می‌تواند در خدمت روش‌های آزمایشی باشد و، به خودی خود، هیچ گونه نیروی استدلالی ندارد، به ناچار آدمی را وامی دارد تا در همه‌ی زمینه‌های دیگر اندیشه هم، با احتیاط بیشتر نسبت به این نوع استنباط‌ها روبرو شود و به خاطر بیاورد که، در هیچ حالتی، نمی‌شود بدون دقت کافی و بدون پیدا کردن نشانه‌های اساسی دیگری، تنها بر اساس شباهت داوری کرد.
- مبارزه به خاطر تفکیک کامل: در حالت‌های معمولی و وقتی که با قضاوت علمی سروکار نداریم خواست مربوط به تفکیک کامل، در هر گام، نقض می‌شود. مثلا می‌گوییم، دانش‌آموز ایوانف به هیچ وجه قابل اصلاح نیست، زیرا نه محبت در او اثر می‌کند و نه تهدید. در اینجا، فراموش می‌کنیم که به جزء محبت یا تهدید، راه‌های دیگری هم، برای اصلاح دانش‌آموز وجود دارد، از جمله اینکه می‌توانیم، با حوصله و آرامش، برای قانع کردن او تلاش کنیم، ما در واقع، با قضاوت خود، به تفکیک کامل حالت‌های ممکن نپرداخته ایم و این اصل منطقی را نقض کرده ایم. برخلاف دو توقعی که در بالا مطرح کردیم(مبارزه با تعمیم‌های غیرقانونی و مبارزه با شبیه سازی‌های بی پایه) توقع مربوط به تفکیک کامل، یعنی به حساب آوردن همه‌ی حالت‌های مختلف و ممکن، تنها به ریاضیات مربوط نیست و درباره‌ی هر تفکر یا داوری درستی، باید در نظر گرفته شود. ولی بی نقص بودن مسأله‌ی تفکیک به تمام حالت‌های ممکن در هیچ جا، به روشنی و قاطعیت ریاضیات نیست و هیچ کس، مثل یک ریاضیدان خوب،اشتباه ناشی از تفکیک کامل را، با این سرعت و بی رحمی، مورد حمله قرار نمی‌دهد. به همین دلیل است که درس‌های ریاضی باید در تربیت دانش‌آموزان و عادت دادن آن‌ها به رعایت این مهم‌ترین ‌قانون داوری درست، نقش جدی داشته باشد.
- مبارزه به خاطر کمال و استواری طبقه‌بندی ها: بر همگان روشن است که اگر ذهن نپخته و تربیت نشده‌ای، تمایل به طبقه‌بندی داشته باشد، دچار اشتباه‌های گوناگونی می‌شود؛ عمومی‌ترین ‌این اشتباه عبارت از خراب کردن کمال و تمامیت طبقه‌بندی و خراب کردن استواری و یگانگی آن است. خراب کردن تمامیت طبقه بندی، به این معنا است که مفهوم‌هایی وجود داشته باشند که در هیچ یک از طبقه‌ها وارد نشده اندو یا اینکه، همه‌ی طبقه‌ها مورد توجه قرار نگرفته اند. مثال ساده، دانش‌آموزی در برابر پرسش «چه واحدهای نظامی را می‌شناسید؟» پاسخ می‌دهد «زمینی، دریایی و هوایی» و واحدهای سر رشته داری، ارتباطات و بسیاری دیگر را فراموش می‌کند. استواری طبقه بندی، که طبق قاعده‌ی معینی انجام گرفته باشد و نشانه‌ی شناسایی آن‌ها مشخص باشد . این توقع، که برای درست و دقیق اندیشیدن، بی اندازه ضروری است نه تنها در داوری‌ها و استدلال‌های عادی و زودگذر، بلکه حتی در بسیاری حالت‌های جدی هم، اغلب مورد توجه قرار نمی‌گیرد. نمونه ساده از بی پایگی و نا استواری طبقه‌بندی ها: ضمن نام بردن از انواع کشتی ها، از کشتی‌های پارویی، تفریحی، بادبانی، موتوری و نظامی نام برده می‌شود؛ روشن است که، این تقسیم بندی براساس نیروی محرکه‌ی کشتی آغاز می‌شود، ولی عنوان آخری، این اساس را به هم می‌زند. هر ذهن منطقی و تربیت شده ای، نا استواری مبنای طبقه‌بندی را، کمبودی جدی برای استدلال و داوری می‌داند. و دوباره، نقش دانش ریاضی ظاهر می‌شود.در درس‌های ریاضیات است که دانش‌آموز راه طبقه‌بندی درست، کامل و استوار را می‌بیند و می‌توان خود را با آن تطبیق دهد.اسلوب تفکر-ریاضیات، به هر امتیازی که بخاطر صحت منطقی نتیجه گیری‌های خود دارد، در اسلوب و شیوه‌ی تفکر هم، با دانش‌های دیگر متفاوت است. اسلوب تفکر را، تا حد زیادی، می‌توان از روی روشنی و صراحت بستگی‌های نظری، سادگی و روشنی ساختمان‌های علمی، عینی بودن مفهوم‌ها و غیر آن باز شناخت، و همه‌ی این‌ها هم، به نوبه‌ی خود، با ثمر بخش بودن شاخه‌های دانش و آموزش علمی و، همراه با آن، با آهنگ پیشرفت دانش، بستگی کامل دارند. بعضی از جنبه‌های اسلوب تفکر ریاضی، اهمیت عمومی و گسترده‌ای دارند. فراگیری بعضی جنبه‌های تفکر ریاضی می‌تواند در بهتر کردن شیوه‌ی اندیشه‌ای در سایر شاخه‌های دانش و با فعالیت‌های عملی مفید باشد، و وسیله‌ی نیرومند و ثمربخشی برای اندیشه‌ی انسانی به حساب می‌آید. تلاش برای رسیدن به حد اعلای طرح منطقی استدلال و داوری، از ویژگی‌های ریاضیدانان است. جنبه‌ی اختصاصی اسلوب تفکر ریاضی، که تا این درجه‌ی کمال در هیچ دانش دیگری وجود ندارد، ارزش و ارج بسیاری را در خود نهفته است. بدیهی است که این اسلوب، حداکثر امکان را برای حرکت درست اندیشه فراهم می‌آورد و آن را مصون از اشتباه می‌سازد. آن چه از طریق درس‌های ریاضی در این باره به دست می‌آید، می‌تواند اهمیت فوق‌العاده‌ای برای بالا بردن فرهنگ عمومی تفکر دانش‌آموزان داشته باشد. جنبه‌ای دیگر که به اسلوب ریاضی تفکر مربوط می‌شود و می‌توانیم، در این جا، از آن یاد کنیم، خصلت اختصارگویی است، تعیین و تمایل آگاهانه در جهت پیدا کردن کوتاه‌ترین ‌مسیر منطقی به سوی هدف و کنار گذاشتن همه‌ی آن چه که برای استدلال کامل و بی نقص ما، ضرورت ندارد. برای ریاضیات، اختصار گویی اندیشه، قانونی است انکار ناپذیر که در طول سده‌های بسیار، به رسمیت شناخته شده است. درس‌های ریاضی، بهتر از هر درس دیگری، می‌تواند عادت به اختصار گویی و حرکت مستقیم به طرف مقصد و گم نشدن در اندیشه‌های اضافی و غیر لازم را در دانش‌آموزان به وجود آورد. سپس، باید از تقسیم بندی روشن استدلال و داوری نام برد، که یکی دیگر از خصلت‌های اسلوب تفکر ریاضی است. هر نماد یا علامت ریاضی، معنای معینی دارد؛ تبدیل یک نماد به نماد دیگر و یا جابجا کردن آن، موجب تحریف می‌شود و، گاهی، مفهوم موضوع مورد بررسی را، به کلی، از بین می‌برد. دقت در نماد‌های ریاضی، جزو عادت‌های دانش‌آموز می‌شود. این عادت به تدریج فضای فکری اورا اشغال می‌کند و، سرانجام، منجر به اسلوبی عام برای تفکر او می‌شود. مارکس و انگلس با دلیل کافی تأکید می‌کنند که ریاضیات، نه تنها وسیله‌ی پر مضمون و روشن کننده برای قانون‌های تفکر دیالکتیکی است، بلکه در ضمن، به صورتی دایمی و منظم، به تکامل توانایی و مهارت دیالکتیکی ما، در روند تفکر کمک می‌کند.
اهمیت ریاضیات از جنبه‌های اخلاقی و تربیت مهین دوستی: تجربه‌ی سال‌های طولانی، به من نشان داده است که، یادگیری دانش ریاضی- کم کم و به تدریج- ناگزیر در جوانان تأثیرهایی می‌گذارد که رنگ روشن اخلاقی دارند و، در طول زمان، می‌توانند به مهمترین سیمای اخلاقی آنان منجر شوند.
- درست کاری و حق گویی: در مشاجره‌های عادی، هر طرف دعوا از جایی آغاز می‌کند که مسأله‌ی مورد نزاع را بهتر به نفع او حل کند. تنها دانش ریاضی است که از همه‌ی این جنبه‌های نا‌معقول، مبرا است. دانش ریاضی، هرگز «فرضیه ای» پیشنهاد نمی‌کند که، برای اثبات درستی یا نادرستی آن، نیاز به بحث و مشاجره باشد تا زمانی که طرحی اثبات نشده باشد، به طور کامل، بیرون از گنجینه‌ی دانش قرار دارد و هیچ کس به ذهنش خطور نمی‌کند، به دفاع از آن برخیزد؛ و اگر ثابت شده باشد، هیچ کس درباره‌ی درستی آن تردید نمی‌کند و، در نتیجه، به ناچار مورد قبول همگان قرار می‌گیرد. ریاضیات، هیچ گونه موقعیت بینابینی را به رسمیت نمی‌شناسد.
- پایداری و مردانگی: هر کار جدی در زمینه‌ی کسب و تحکیم دانش، در هر رشته‌ علمی که باشد، مستلزم تلاش ذهنی سخت و منظم، پایداری در برطرف کردن دشواری‌ها و برخورد مردانه با ناکامی‌هاست. در ریاضیات، هدفی که براساس نتیجه‌گیری از یک دستور ریاضی تعیین شده است، روشن و مشخص است. ولی در تألیفات تاریخی یا ادبی، نمی‌توان لحظه‌ای را نشان داد که دستور کار، به صورتی قطعی و کامل، به پایان رسیده باشد از طرف دیگر، دانش‌آموز آن صلاحیت و اختیار را در خود احساس نمی‌کند که بتواند، نتیجه‌ی کار خود را ارزیابی کند. جنبه‌ای دیگر که اختصاص به درس‌های ریاضی دارد خصلت آفرینندگی و پژوهش گرانه‌ی تکلیف‌های ریاضی است که، بیش از سایر دانش‌ها موجب رشد و تحکیم نیروی فکر و معنوی دانش‌آموزان می‌شود.
- تربیت میهن دوستی: مسأله‌ی استفاده از درس‌های ریاضی، برای تربیت و تحکیم حس سرافرازی و افتخار نسبت به زادگاه خود و عشق به آن، دشواری‌های به همراه دارد که، بیش از همه، به خصلت انتزاعی بودن دانش ریاضی مربوط می‌شود.
در بخش ۳-۷ افلاطون: پرورش عمومی و کلی روح مقدم بر هر گونه تخصص فنی و حرفه‌ای باید مبتنی بر مطالعه‌ی ریاضیات باشد. ریاضیات به مثابه‌ی ابزاری همگانی و عمومی است که انطباق دقیق فکر با اشیاء را در هر موردی تضمین می‌کند. فایده‌ی علوم ریاضی هدف عالی‌تری دارد و آن این است که موجب می‌شود روح از وجود خود، از کمال مطلوب خود و از برترین ارزش‌ها آگاه شود.هدف اساسی ریاضیات مادی نبوده بلکه تربیتی خواهد بود. استفاده ازروش‌های آموزش سقراطی در قلمرو علوم ریاضی بدان‌ها ارزش تربیتی محض می بخشد. بهره‌ای که انسان از فرا گرفتن این علوم می‌برد به معلومات ناشی از این تعلیمات یا به موارد استعمال این علوم در زندگی کمتر بستگی دارد تا به سهمی که در تسهیل سیر عقل دارد. وسیله‌ای ایده‌آل برای گذر از ظلمت به نور، ریاضیات است. تفکر ریاضی ذهن را برای توجه به صورت‌های عالی‌تر تفکر آماده می‌کند. از این رو راه رستگاری، راه درک حقیقت، زیبایی و نیکی از ریاضیات می‌گذرد ریاضیات دریچه‌ی ورود به ذهن خداست.
در بخش ۳-۸ روبن هرش: انسان گرایی ریاضیات را یک پدیده‌ی اجتماعی- تاریخی- فرهنگی می‌داند که بر اساس احتیاجات علوم و زندگی شکل می‌گیرد، اشیاء ریاضی را شبیه پول، کارت دعوت و … موجودی در شعور جمعی و احکام ریاضی را شبیه قانون، مذهب و … مؤلفه‌ای از آگاهی اجتماعی ما تلقی می کند و معتقد است که بدون انسان‌ها، ریاضیاتی وجود ندارد.
در بخش ۳-۹ ابوزید عبدالرحمن ابن محمد ابن خلدون حضرمی: به نظر وی ابتدا باید خواندن و نوشتن و حساب کردن را یاد داد و پس از آن به آموزش قرآن و معنای آن پرداخت. هندسه به خرد، فروغ و به اندیشه راستی می‌دهد. زیرا همه‌ی براهینش به روشی روشن و سبکی آشکار است. از همین جهت، غلط در قیاس هایش راه ندارد.لذا به ممارست آن فکر از خطا دور می‌گردد. بر اثر این روش روشن، هوش و بینش به هندسه دان دست می‌دهد.
در بخش ۳-۱۰ آیت اله حسن حسن زاده آملی: علم به قوانین حسابی و قواعد مسائل عددی در تقویت نفس انسانی از اعظم وسائل است. به خصوص علم هندسه که در تعدیل و تقویم ذهن و فکر و قلم و بیان تأثیری به سزا دارد. حکما و فلاسفه‌ی بزرگ گفته اند: برای رسیدن به معرفت حقایق اشیاء، فکر را باید به علوم ریاضی ورزش داد. علوم ریاضی برای حکیم به مثابت مسطره برای خطاط است. همچنان که مسطره، مشاق را از کجی و بی نظمی در کتابت حروف و انحراف سطور حافظ است، علوم ریاضی نیز فکر را از خطا و اوجاج و انحراف باز می‌دارند و به آن استقامت و اعتدال می‌دهند. لذا انسان‌های ورزیده در علوم ریاضی صاحب رأیی صائب، و نظری ثاقب، و کم گوی و گزیده گوی، و دیر گوی و نکو گوی می‌شود. عبارات و الفاظ آنان نوعاً حساب شده است. قلم آنان بسیار رصین و متین است. اکثر علما و فلاسفه در ریاضیات تبحر داشتند و حتی بسیاری در ریاضیات صاحب کتاب و رساله بوده‌اند و این نشان از اهتمام ایشان به فراگیری علوم ریاضی دارد و هم اهمیت این علم. از آن جا که برای بالا بردن دقت در علوم برهانی لازم است تا علاوه بر فرا گرفتن روش‌های صحیح استدلال، نسبت به تمرین آن‌ها برای ملکه شدنشان اقدام شود، در اغلب کتاب‌های منطقی و برهانی چنین سفارشاتی مبنی بر ریاضت و تمرین در علوم برهانی به چشم می‌خورد.
در بخش ۳-۱۲ استاد داوود صمدی آملی: راه تطهیر قوه‌ی خیال کسانی که ذهن‌های متفرق دارند ابتدا خواندن ریاضیات است و بعد مباحث منطقی، فلسفی و عرفانی است.
در بخش ۳-۱۳ گادفری هرولد هاردی : هر ریاضیدان واقعاً مستعدی که می‌شناختم به ریاضیات وفادار مانده است، و این نه به خاطر فقدان بلند پروازی، بلکه، برعکس به خاطر وفور آن بوده است. همه‌ی آن‌ها تشخیض می‌داده‌اند که اگر برای آن‌ها راهی در زندگی وجود داشته باشده که به موقعیت ممتازی بیانجامد، این راه ریاضیات است. ریاضیدان، مانند نقاش یا شاعر، نقش پرداز است. ولی نقش‌های او ماندگار ترند چون از ایده ساخته می‌شوند و این ایده‌ها تنها ابزار کاری ریاضیدان است، بنابراین نقش‌های او احتمالاً بیشتر از نقش‌های نقاش یا شاعر می‌پایند زیرا ایده دیر‌تر از کلمه کهنه می‌شود.
در بخش ۳-۱۴ رنه دکارت: به این نتیجه رسیده بود که ریاضیات “در قیاس با هر ابزاری که به انسان برای کسب معرفت به ارث رسیده، قوی‌ترین ‌ابزار است.”
در بخش ۳-۱۵ جان دیویی: در مدرسه‌ی آزمایشگاهی وی، سه گروه درس تنظیم شد که یکی از آن‌ها علوم و ریاضیات بود. رشد دانش علمی و مهارت ریاضی به طور مستمر در همه‌ی سنین تحقق داده می‌شد تا جزء مفاهیم علمی اولیه تضمین گردد و عادت استفاده از طرق علمی در کودک پدید آید.
در بخش ۳-۱۶ و. ف. کانل: ویژگی و فایده‌ی ریاضیات این بود که اولاً ذهن را تمرین می‌داد و ثانیاً پایه‌ای برای آموزش علوم ناب فراهم می‌آورد. موفقیت در درس ریاضیات با بسیاری متغیر‌های شخصی، اجتماعی، اداری و تربیتی که در موردشان از دانش‌آموزان و آموزگاران در غالب طرحی که هیئت “آی. ای. ای” کسب اطلاع شده بود، ارتباط داده شد.
در بخش ۳-۱۷ اریک تمپل بل: در حالت کلی ریاضیات راه‌های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار می‌دهد. ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت‌تر تجزیه و تحلیل کنیم.
در بخش ۳-۱۸ ادوارد لی ثور اندایک: “حساب اگر درست تدریس شود، انضباط فکری اصیل بی نهایت ارزشمندی ایجاد می‌کند؛ در شاگرد عادتی پدید می‌آورد مانند تمرکز فکری، توالی استدلالی، دقت مطلق و رضایت از حقیقت منتجه، که به نظر نمی‌رسد به طور مشابه از مطالعه‌ی هر درس دیگری مناسب مرحله‌ی ابتدایی آموزش حاصل شود".
در بخش ۳-۱۹ وینچ: اگر دستیابی به اصول، مثلاً در زمینه‌ی چگونگی استدلال در ریاضیات، آگاهانه باشد، انتقال قابل ملاحظه‌ای به وضعیت‌های وسیع‌تر صورت می‌گیرد.